Формула Гріна–Остроградського

Нехай область обмежена кривою , яка складається з відрізків прямих , кривих , ,

Рис. 10.3

причому виконується нерівність (рис.10.3). Така область називається елементарною відносно осі .

Аналогічно означається елементарна область відносно осі (рис.10.4):

Рис. 10.4

Рис. 10.5

Якщо область елементарна відносно кожної осі, то вона називається елементарною відносно осей і (рис.10.5).

Теорема 10.1 (формула Гріна–Остроградського). Нехай - елементарна область відносно осей і , її межа є кусково–гладкою кривою, функції і неперервні разом з своїми частинними похідними і в замкненій області . Тоді має місце рівність

(10.1)

Рис. 10.6

Доведення. Обчислимо спочатку (область елементарна відносно осі ) (рис.10.6) подвійний інтеграл:

=[формула Ньютона-Лейбніца]=

[обчислюємо КІ другого роду]= [використовуємо властивість криволінійного інтегралу другого роду, , ]=

.

Рис. 10.7

B1

B4

B2

B3

Аналогічно, оскільки область елементарна відносно осі (рис.10.7), то подвійний інтеграл . Дійсно,

Додаючи обидві формули, і отримаємо формулу (10.1). ■

Формулу Гріна можна узагальнити і на той випадок, коли область можна розбити на області , , які задовольняють теоремі 10.1, і на багатозв’язні області (рис.10.8 – 10.9).

Рис. 10.8

Рис. 10.9

Означення 10.2. Область називається однозв’язною, якщо для довільної замкненої простої кривої або кривої Жордана, яка належить області , внутрішність також належить . Неоднозв’язні області називаються багатозв’язними (рис.10.10).

Однозв’язність області означає, що область не має "дірок".

однозв’язна

багатозв`язна

Рис. 10.10

Дата добавления: 2014-11-29