Матричный метод расчета УЗМИ

Рассмотрим волновод поперечного сечения длиной l (рис. 4). Общее решение уравнения (8) для этого случая - уравнения (9) в виде

, (16)

в силу второго из соотношений (1), амплитуда осевых условий n (z)

и с учетом (16а)

, (17)

Пусть амплитуда продольного смещения при z =0 равна , а амплитуда осевого усилия . Тогда соотношение (16а) и (17) при­мут вид

Значения смещения и усилия на правом торце волновода:

(18)

Рис. 4

Используя векторные обозначения, уравнение (18) можно записать в более ком­пактной форме , где ; - вектора-столбца: A - мат­рица вида:

которую принято называть матрицей перехода. Для участков УЗМИ с экспоненциальными, катеноидальными и коническими переходами (7) решение также может быть выражено через , а элементы матрицы перехода A будут равны

(20)

где - площадь поперечного сечения в начале участка

; - площадь поперечного сечения в конце участка.

Для волновода с экспоненциальными переходами ;

Для волноводов с катеноидальными переходами

Для волноводов с коническими переходами ,.

Для крутых переходов (рупоров), когда или больше , все тригонометрические функции в матрице перехода следует заменить на соответствующие гиперболические (это не касается конических рупоров).

Допустим, УЗМИ состоит из участков, в пределах каждого из которых закон изменения площади поперечного сечения таков, что может быть аппроксимирован одной их функций (7), и для каждого из участков введена локальная система координат , начало каж­дой из которых совпадает с левым (см. рис 4) краем соответствую­щего i-ого участка. Вектор решения при имеет вид: . Тогда решение в конце первого участка будет выглядеть так: , но силу условий сплошности и равновесия вектор ре­шения в начале следующего участка совпадает с . Решение в конце второго участка: , но , тогда ,.

Решение в конце i-ого участка:

. Решение в конце n -ого участка: (т.е. при , где - длина i-ого участка, l - полная длина ультразвуковой колебательной системы) имеет вид

(21)

где .

Собственные частоты (резонансные длины) УЗМИ находятся из решения системы (21), при этом должны выполняться граничные условия на правом и левом краях интервала [0, 1].

Рассмотрим различные варианты граничных условий:

1) левый и правый края свободны (N =0), тогда

в этом случае имеем следующее частотное уравнение:

2) Левый край свободен (N =0), правый заделан (u =0), тогда

в этом случае имеем следующее частотное уравнение:

Решение частотных уравнений вида может быть найдено известными способами, например методом половинного или пропор­ционального деления, методом хорд, касательных, Ньютона-Зейделя и других.

Дата добавления: 2014-11-29