КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теорема множення зображень (теорема про згортку)
Теорема: Якщо оригінал , а оригінал , то (6.7.1) Доведення Позначивши , за визначенням зображення за Лапласом (6.7.2) Інтеграл, що стоїть праворуч, є подвійний інтеграл, який береться по області , обмеженій прямими і при цьому:
Зміна порядку інтегрування в інтегралі праворуч у рівності (6.7.2) дає: . Отже Інтеграл називається згорткою функцій і і позначається . Отже оригінал, що відповідає добутку двох зображень, дорівнює згортці оригіналів співмножників. Приклад 1. Застосовуючи теорему множення зображень, знайти оригінал, якщо, Розв¢язання Маємо причому Тому, враховуючи, що знаходимо: тобто Відповідь: . Приклад 2. (самостійно). Застосовуючи теорему про згортку, знайти оригінал, якщо Відповідь: 6.8 Диференціювання оригіналів (зображення похідних оригіналів) Зображення похідної оригіналу , якщо – оригінал, можна знайти за відомим зображенням оригіналу на підставі наступної теореми: Теорема: Якщо, і – оригінал, то (6.8.1) Доведення На підставі означення зображення записується Шляхом інтегрування за частинами маємо: тобто тому що в напівплощині буде: при . В окремому випадку, коли , формула (6.8.1) має вигляд: (6.8.2) Таким чином, якщо початкове значення оригіналу дорівнює нулю, диференціювання оригіналу приводить до множення його зображення на параметр р. Застосувавши формулу (5.8.1) до другої похідної , одержуємо: Аналогічно (6.8.3) …………………………………………………… В окремому випадку, коли буде (6.8.4) 6.9 Інтегрування оригіналів(зображення інтегралів) Теорема: Якщо , то . Доведення Позначення , а значить , приводить за теоремою єдності і теоремою диференціювання оригіналу до рівності: де а Таким чином, звідки маємо:
(6.9.1) Приклад. Якщо , то за теоремою інтегрування оригіналу . Відповідь: . Зауваження. Формули диференціювання й інтегрування оригіналів, тобто формули (5.8.1) і (5.9.1), що визначають зображення похідної й інтеграла від оригіналу , відіграють найважливішу роль в операційному численні, бо з них випливає, що діям вищого аналізу – диференціюванню й інтегруванню функцій-оригіналів, відповідають алгебраїчні дії – множення і ділення відповідно їхніх зображень на параметр р. Отже, величину р можна формально розглядати як оператор диференціювання, а величину – як оператор інтегрування функції-оригіналу на відрізку . Слід також зазначити, що зображення значної кількості функцій-оригіналів, що зустрічаються на практиці, є дробово-раціональними алгебраїчними функціями параметра р. Зазначене тут дає можливість багато задач вищого аналізу (розв¢язання диференціальних, інтегральних і інтегро-диференційних рівнянь і т.п.) звести до виконання алгебраїчних дій над зображеннями шуканих функцій-оригіналів , які є розв¢язками таких задач.
Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 3425; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |