КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод итераций для нелинейных систем уравнений
Дана система нелинейных уравнений: (1) функции действительны, определены и непрерывны в некоторой окрестности изолированного решения данной системы. Пусть , , тогда (1) можно записать в виде: (2) Для нахождения вектора решения удобно использовать метод итерации , (3) где начальное приближение . Если процесс итерации (3) сходится, то является корнем уравнения (2). Если, кроме того, все приближения принадлежат области W и - единственный корень системы (2), то . Метод итерации может быть применён к общей системе f(X)=0 (3), где f(X) – вектор - функция, определенная и непрерывная в некоторой окрестности вектора решения . Запишем систему в виде: , - неособенная матрица. Пусть (4) К (4) можно применить обычный метод итерации. Пример 7. Приближённо решить систему методом итерации. (5) Кривые пересекаются приблизительно в точках (1,4;-1,5) и (3,4;2,2) Приведём к виду (4)
Если , то , , следовательно матрица неособенная и существует обратная матрица , тогда = =
Глава 3. Приближенное представление функций (аппроксимация, интерполяция) На практике часто приходится прибегать к замене функций их приближенными представлениями. Представим схематически некоторые ситуации, в которых возникает данная необходимость. 1. Входящая в задачу функция слишком сложна, и это делает невозможным решение задачи. В этом случае функция заменяется более простой, приближенной функцией, для которой задача упрощается. Полученный при этом результат и принимают за приближенное решение исходной задачи. Например, для вычисления значений функции sinx можно приближенно заменить функцию отрезком её ряда Маклорена: . Если первообразная не выражается через элементарные функции, то подынтегральную функцию можно заменить на приближенную и вычислить интеграл.
2. Функция f(x) задана таблично для некоторых значений аргумента: f(xi)=yi, i=1,2,…, n, а для решения задачи требуется вычисление ее значений при значениях аргументов, отличных от имеющихся в таблице. При аналогичных условиях, требуется вычислить производную или интеграл от f(x), По таблице находится приближенное аналитическое выражение для функции, и вычисляются необходимые величины. В общем виде задачу о приближенном значении функции можно описать так: имеется множество функций F и в нем выделено подмножество H более простых функций, которые используются для приближенного представления функций из F. Для каждой функции f F нужно выделить функцию hf H, которая была бы для нее «достаточно хорошим» приближением. Функция hf должна быть найдена так, чтобы замена функции f на функцию hf не привела к большой погрешности в окончательном результате вычислений. Для оценки приближения обычно вводится в множестве F числовая мера ρ =(f,g) ≥0 близости двух функций: чем меньше это значение, тем в определенном смысле ближе функции f и g. Например, если необходимо оценить близость значений функции в заданных точках x 0, x 1, x 2,…, x n, то можно использовать меры: , Если необходимо оценить близость графиков функций на всем отрезке, то можно использовать меру: Если нас интересует лишь близость значений интегралов от функций, то используется мера или Если введена мера близости ρ =(f,g), то возникает задача о наилучшем приближении: для данной функции f F найти функцию hf H, для которой мера близости принимает наименьшее возможное значение: Для приближенного представления функции: a) принцип, по которому строится приближение наилучшее по данной мере; b) алгоритм построения приближающей функции ; c) способ оценки погрешности, возникающей при замене функции f приближением hf.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 652; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |