Решение задач линейной алгебры с помощью MS Excel

Среда MS Excel представляет собой набор инструментов для обработки данных, как правило, числовых. Ядром данной прикладной программы являются функции MS Excel (финансовые, математические, статистические, баз данных и т.д.), предназначение которых ясно из названий. В этом параграфе мы применим средства Excel для выполнения действий над матрицами, что, надеемся, облегчит студентам решение задач.

Итак, в Excel существуют следующие функции действий над матрицами:

МУМНОЖ – возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1, и с таким же числом столбцов, как массив 2.

МОПРЕД – возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

ТРАНСП – транспонирование матрицы.

МОБР – возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Для простейших действий над матрицами, такими как:

· сложение/вычитание двух матриц;

· умножение матрицы на число –

использование встроенных функций MS Excel не требуется. Для выполнения арифметических действий, но не над числами, а над массивами чисел (матрицами), достаточно составить необходимую формулу для одного из элементов, а затем скопировать ее для всех остальных. За счет индексации (адреса) каждой ячейки листа MS Excel будет получен корректный результат.

Пример 2.15. Найдем матрицу С = А + В и D = 4*A, где А и В – матрицы вида:

Решение. В данном случае необходимо ввести значения матрицы А и В (рис. 2.1).
К оформлению никаких строгих правил не предъявляется:

Рис. 2.1. Исходные данные для примера

Для нахождения матрицы С запишем в первый элемент результирующей матрицы формулу. Поскольку сложение матриц происходит поэлементно, то первый элемент матрицы С будет суммой первых элементов матриц А и В (рис. 2.2).

Рис.2.2. Сумма первых элементов

После нажатия клавиши «ENTER» в первой ячейке области, отведенной под матрицу С, появится результат сложения. Формулу, составленную для первого элемента, используем для нахождения оставшихся элементов. Для этого формулу необходимо скопировать и «забить» в нужные ячейки. Копирование и вставку можно провести тремя способами:

– поставив курсор в первую клетку, вызвать в пункте главного меню «Правка» подпункт «Копировать/Вставить»;

– правой кнопкой «мышки» нажать на первую ячейку и в появившемся меню выбрать «Копировать/Вставить»;

– воспользоваться «горячими» клавишами: копировать – Ctrl+C; вставить – Ctrl+V.

После копирования (занесения в буфер памяти) формулы, необходимо выделить область результирующей матрицы, в данном случае 3 клетки х 3 клетки, и вставить формулу перечисленными тремя способами или просто нажав клавишу «ENTER».

В результате должна получиться результирующая матрица С (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Результат сложения матриц

Аналогичным образом получим матрицу D = 4*A (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Результат умножения матрицы на число

Все перечисленные выше функции можно найти в полном алфавитном списке функций MS Excel, который можно вызвать тремя способами:

– в пункте главного меню «Вставка» выбрать пункт «Функции» (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

– нажатием на панели инструментов иконки со значком f^х (рис. 2.6).

Рис. 2.6.

– после ввода в желаемую ячейку символа «=» справа под панелью инструментов появляется выпадающее меню, в котором отображены последние 10 использованных функций (рис. 2.7 и рис. 2.8).

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Рассмотрим использование данных функций на примерах.

Пример 2.16. Найти произведение матриц А и В из примера 2.15.

Решение.В задаче перемножения матриц прежде всего необходимо определить размерность итоговой матрицы. В нашем случае, матрица Е = А*В будет содержать 3 строки и 3 столбца. На листе Excel необходимо выделить область 3х3 и в первой ячейке вызвать функцию МУМНОЖ (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Вызов функции МУМНОЖ

В окне функции МУМНОЖ заносятся адреса перемножаемых массивов. Для этого в верхнем окне для адреса первого массива необходимо нажать кнопку и указать выделением на рабочем листе расположение элементов первого массива (рис. 2.10 и 2.11).

Рис. 2.10

Рис. 2.11

Аналогично заполнить адрес второго массива в строке «Массив 2» (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Следующей задачей является перенос полученных результатов на рабочий лист. Поскольку в данном действии результатом является не одна ячейка, а девять, то вместо клавиши «ENTER» нажимается комбинация клавиш Ctrl+Shift+Enter. В результате должен получиться заполненный массив Е (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Аналогичным образом производится работа с функцией МОБР, которая служит для нахождения обратной матрицы.

Пример 2.17. С помощью Excel найти обратную матрицу для матрицы В из примера 2.15.

Решение.Для отыскания матрицы В^-1 выделить на рабочем листе область 3х3 и вызвать функцию МОБР. Синтаксис этой функции предполагает адрес одного массива (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Нахождение обратной матрицы

В результате нажатия комбинации клавиш (поскольку требуется заполнить не одну ячейку) Ctrl+Shift+Enter в выделенной области будет размещаться обратная матрица для массива В (рис. 2.15).

Рис. 2.15

Аналогично выполняется транспонирование матрицы с единственным отличием – используется функция ТРАНСП.

Пример 2.18. Найти определитель матрицы А из примера 2.15.

Решение.Для нахождения определителей любых порядков используется функция МОПРЕД. Поскольку опредилитель – это число, характеризующее квадратную матрицу, нет необходимости в выделении области для ответа. Решением будет число, помещенное в одну ячейку (рис. 2.16).

Рис. 2.16.

Необходимо помнить, что в случае, когда в результате действий над матрицами ответом будет являться массив, а не число, следует следить за выполнением двух требований:

1) перед вызовом функции выделять область, в которой ожидается решение;

2) после заполнения необходимой информации в окне таких функций, как МУМНОЖ, МОБР и ТРАНСП, следует нажимать комбинацию Ctrl+Shift+Enter.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение матрицы.

2. Перечислите виды матриц.

3. Какие матрицы можно складывать, умножать?

4. Дайте определение n-мерного вектора.

5. Является ли вектор матрицей или наоборот?

6. Что такое минор M_ij матрицы А?

7. Что такое алгебраическое дополнение A_ij?

8. Что такое определитель матрицы?

9. Как вычислить определитель квадратной матрицы второго порядка, третьего порядка?

10.Для всех ли матриц существует понятие определителя?

11.Дайте определение обратной матрицы.

12. Что такое неособенная матрица?

13.Как вычислить обратную матрицу?

14.Как проверить, является ли матрица В обратной к А?

15.Запишите СЛАУ в матричной форме.

16.Как решить СЛАУ методом Крамера?

17.Как решить СЛАУ методом обратной матрицы?

18.Запишите решение матричного уравнения AX = B.

19.Какие системы можно решать методом Гаусса?

20.Какие случаи возможны при решении СЛАУ?

21.Что такое однородная СЛАУ?

22.Дайте определение общего решения СЛАУ.

23.Дайте определение частного решения СЛАУ.

24.Дайте определение базисного решения СЛАУ.

25.Сколько базисных решений может иметь СЛАУ.

26.Что называется линейной комбинацией системы векторов?

27.Какая система векторов называется линейно-зависимой (независимой)?

28.Что называется базисом n-мерного пространства?

29.Как определить линейную зависимость или независимость системы векторов?

30.Как перейти от одного базиса векторного пространства к другому?

Задание №2

Для матриц А и В определить:

а) 3 А + 4 В;

б) АВ – ВА;

в) (А - В)^-1.

Задание №3

Вычислить следующие определители:

Задание №4

Решите систему линейных уравнений двумя способами (после решения необходимо выполнить проверку):

· по формулам Крамера;

· матричным способом.

1) 2X₁ + 5X₂ - 8X₃ = 8 2) X₁ + 8X₂ - 7X₃ = 12

4X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9 2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7

2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7 6X₁ + 8X₂ -17X₃ = 17

3) 2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7 4) 6X₁ + 6X₂ -14X₃ = 16

5X₁ +11X₂ -16X₃ = 21 2X₁ + 5X₂ - 8X₃ = 8

4X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9 4X₁ + 3X₂ + 9X₃ = 9

5) -7X₁ + 3X₂ +8X₃ = 75 6) 13X₁ - 6X₂ = 32

9X₁ - 4X₂ = -3 8X₁ +4X₂ + 1X₃ = 12

X₁ - 7X₂ - 3X₃ = 12 2X₁ + 9X₂ + 5X₃ = -5

7) 7X₁ - 4X₂ = 61 8) 6X₁ + 3X₂ + 9X₃ = -111

8X₁ +9X₂ - 6X₃ = 48 -7X₁ - 4X₂ - 2X₃ = 52

9X₁ - 6X₂ - 2X₃ = 99 X₁ - 7X₂ + 3X₃ = -47

9) -5X₁ + 7X₂ +11X₃ = -2 10) 2X₁ + X₂ + 3X₃ = 11

2X₁ + 6X₂ + 3X₃ = 11 3X₁ + 2X₂ - 5X₃ = -20

3X₁ - 5X₂ + 4X₃ = 11 5X₁ - 2X₂ +3X₃ = -4

11) 2X₁ + 3X₂ - 6X₃ = 18 12) X₁ + 7X₂ - 5X₃ = 25

4X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9 X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 15

2X₁ + 2X₂ - 5X₃ = 10 6X₁ + 8X₂ -17X₃ = 17

13) 2X₁ + 5X₂ - 5X₃ = 25 14) 6X₁ + 2X₂ -X₃ = 16

5X₁ +11X₂ -16X₃ = 21 2X₁ + X₂ - 8X₃ = 36

4X₁ + 2X₂ - X₃ = 8 4X₁ + 3X₂ + 9X₃ = 90

15) -X₁ + 3X₂ +8X₃ = 24 16) 12X₁ - 6X₂ = 45

9X₁ - 4X₂ = -36 8X₁ +X₂ + 7X₃ = 56

X₁ - 7X₂ - 3X₃ = 12 2X₁ + 9X₂ + 5X₃ = -5

17) 7X₁ - 4X₂ = 60 18) 6X₁ + 2X₂ + 9X₃ = -81

8X₁ +9X₂ - 3X₃ = 48 -7X₁ - 4X₂ - 2X₃ = 52

9X₁ - 6X₂ - 2X₃ = 99 X₁ - 5X₂ + 3X₃ = -45

19) -3X₁ + 7X₂ +5X₃ = -20 20) 2X₁ + 5X₂ + 3X₃ = 110

2X₁ + 6X₂ + 2X₃ = 120 3X₁ + 2X₂ - 3X₃ = -20

3X₁ - 5X₂ + 4X₃ = 90 5X₁ - 12X₂ +3X₃ = -4

21) 2X₁ + 7X₂ - 8X₃ = 80 22) X₁ + 8X₂ - 3X₃ = 90

14X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 90 2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 70

2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 70 X₁ + 8X₂ -15X₃ = 120

23) 2X₁ + 3X₂ - X₃ = 7 24) 6X₁ + 6X₂ -X₃ = 16

5X₁ +5X₂ -16X₃ = 25 5X₁ + 5X₂ - 8X₃ = 80

X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9 4X₁ + 3X₂ + 9X₃ = 90

25) -7X₁ + 3X₂ +8X₃ = 64

9X₁ - 4X₂ = -30

X₁ - 7X₂ - 2X₃ = 14

Задание №5

Решить системы линейных уравнений методом Жордана–Гаусса

Вариант №1 – решить системы №1, 6, 11

Вариант №2 – решить системы №2, 7, 12

Вариант №3 – решить системы №3, 8, 13

Вариант №4 – решить системы №4, 9, 14

Вариант №5 – решить системы №5, 10, 15

Вариант №6 – решить системы №1, 7, 13

Вариант №7 – решить системы №2, 8, 14

Вариант №8 – решить системы №3, 9, 15

Вариант №9 – решить системы №4, 10, 11

Вариант №10 – решить системы №5, 6, 12

Вариант №11 – решить системы №1, 7, 12

Вариант №12 – решить системы №2, 9, 13

Вариант №13 – решить системы №3, 10, 11

Вариант №14 – решить системы №4, 8, 14

Вариант №15 – решить системы №5, 9, 12

Вариант №16 – решить системы №1, 8, 14

Вариант №17 – решить системы №2, 10, 12

Вариант №18 – решить системы №3, 9, 15

Вариант №19 – решить системы №4, 7, 11

Вариант №20 – решить системы №5, 6, 13

Вариант №21 – решить системы №1, 6, 15

Вариант №22 – решить системы №2, 8, 15

Вариант №23 – решить системы №3, 6, 14

Вариант №24 – решить системы №4, 10, 15

Вариант №25 – решить системы №5, 7, 11

1. 2Х₁ + Х₂ + Х₃ = 2 2. 2Х₁ - Х₂ + 3Х₃ = 3

Х₁+3Х₂ + Х₃ = 5 3Х₁ + Х₂ - 5Х₃ = 0

Х₁ +Х₂ +5Х₃ = -7 4Х₁ - Х₂ + Х₃ = 3

2Х₁+3Х₂ - 3Х₃ = 14 Х₁ + 3Х₂ -13Х₃ = -6

3. Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = 6 4. 2Х₁ - Х₂ + Х₃ - Х₄ = 1

Х₁ + Х₂ - Х₃ - Х₄ = 0 2Х₁ - Х₂ - 3Х₄ = 2

Х₁ - Х₂ + Х₃ - Х₄ = 4 3Х₁ - Х₃ + Х₄ = -3

Х₁ - Х₂ - Х₃ + Х₄ = 2 2Х₁+2Х₂ -2Х₃+ 5Х₄ = -6

11Х₁ -Х₂ - Х₃+ Х₄ = -5

5. Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = 0 6. Х₁ +5Х₂ - 9Х₃ + 8Х₄ = 1

Х₂ + Х₃ +Х₄ +Х₅ = 0 5Х₁+18Х₂ + 4Х₃ + 5Х₄ = 12

Х₁ +2Х₂ +3Х₃ = 2 2Х₁ +7Х₂ +3Х₃ + 4Х₄ = 5

Х₂ + Х₃+3Х₄ = -2 1Х₁ +3Х₂ +5Х₃ - 2Х₄ = 3

Х₃+2Х₄ +Х₅ = 2

7. 2Х₁ + 3Х₂ + 9Х₃ -7Х₄ = 3 8. 9Х₁ +4Х₂ + Х₃ + 7Х₄ = 2

8Х₁ +12Х₂ - 9Х₃ +8Х₄ = 3 2Х₁+ 7Х₂ + 3Х₃ + Х₄ = 6

4Х₁ + 6Х₂ + 3Х₃ - 2Х₄ = 3 3Х₁ +5Х₂ +2Х₃ + 2Х₄ =4

2Х₁+ 3Х₂ - Х₃ + Х₄ = 1

9. 2Х₁ - 3Х₂ - 11Х₃ -15Х₄ = 1 10. 9Х₁+12Х₂ + 3Х₃ +10Х₄ = 13

2Х₁ - 3Х₂ + 5Х₃ + 7Х₄ = 1 3Х₁+ 4Х₂ + Х₃ + 2Х₄ = 3

4Х₁ - 6Х₂ + 2Х₃ + 3Х₄ = 2 6Х₁ + 8Х₂ +2Х₃ + 5Х₄ = 7

11. 7Х₁ - 4Х₂ + Х₃ + 3Х₄ = 5 12. 3Х₁+3Х₂ + 5Х₃ -2Х₄+3Х₅ = 1

3Х₁ - 5Х₂ +2Х₃ +4Х₄ = 2 2Х₁+2Х₂ + 4Х₃ -Х₄ +3Х₅ = 2

5Х₁ + 7Х₂ - 4Х₃ - 6Х₄ = 3 Х₁ + Х₂ + 3Х₃ -2Х₄+5Х₅ = 1

2Х₁+2Х₂ + 8Х₃ -3Х₄+9Х₅ = 2

13. Х₁ + 2Х₂ + 3Х₃ = 2 14. Х₁ + Х₂ - 3Х₃ = -1

Х₁ + Х₂ + 2Х₃ = 1 2Х₁ + Х₂ - 2Х₃ = 1

3Х₁ + 5Х₂ + 8Х₃ = 0 Х₁ + Х₂ + Х₃ = 3

-Х₁ + Х₂ + 4Х₃ = 2 Х₁ +2Х₂ -3Х₃ = 1

15. 2Х₁ - Х₂ + Х₃ - 3Х₄ = 4

3Х₁ - 2Х₂ +2Х₃ - 3Х₄ = 2

2Х₁ + Х₂ - Х₃ + Х₄ = 1

5Х₁ + Х₂ - Х₃ + 2Х₄ = 1

Задание №6

В естественном базисе заданы векторы. Установить, составляют ли они базис. Если составляют, то найти связь между новым и старым базисами, а также в новом базисе найти компоненты вектора .

Для вариантов 1–10

Для вариантов 11–20

Для вариантов 21–30

ТЕМА 3.

Дата добавления: 2014-12-29