Анализ чувствительности в задачи Reddy Mikks (2)

Анализ чувствительности

После нахождения оптимального решения задачи линейного программирования естественно возникает вопрос изучения влияния изменения параметров модели на полученное оптимальное решение. Такое исследование называется анализом чувствительности.

Анализ модели на чувствительность позволяет дать ответы на следующие вопросы:

1. Можно ли увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции? На сколько можно увеличить запас этого ресурса?

2. Можно ли снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного значения целевой функции? На сколько можно снизить запас этого ресурса?

3. Увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?

4. В каких пределах могут меняться коэффициенты целевой функции при условии неизменности оптимального решения?

Первые три пункта соответствуют анализу модели на чувствительность к правым частям ограничений (запасам ресурсов), последний — на чувствительность к коэффициентам целевой функции (ценам).

Рассмотрим анализ чувствительности, основанный на графическом решении задачи.

Ограничение называется активным, если в точке оптимального решения оно выполняется как равенство. Прямая, соответствующая активному ограничению, должна проходить через оптимальную точку.

Ограничение называется неактивным, если в точке оптимального решения оно выполняется как строгое неравенство.

Ресурс называется дефицитным, если соответствующее ему ограничение является активным. Аналогично ресурс называется недефицитным, если соответствующее ему ограничение является неактивным.

Таким образом, при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений можно определить:

1) предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение,

2) предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального решения.

Для того чтобы определить предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса необходимо определить то предельное положение, после которого соответствующее ограничение становится избыточным.

В данном случае дефицитными (т.е. использованными полностью) являются (см. Рис. 2) следующие ресурсы:

1. Ресурс (1), соответствующий запасу сырья А;

2. Ресурс (2), соответствующий запасу сырья В.

Рис. 2

При изменении запаса сырья (т.е. при изменении значения правой части ограничения (1)) точка , которая является точкой пересечения прямых (1) и (2) и соответствует оптимальному решению, движется вдоль отрезка . Увеличение запаса сырья , приводящее к выходу точки из этого отрезка, ведет к неосуществимости оптимального решения в точке . Поэтому точка определяет предельное увеличение запаса сырья . Количество сырья, соответствующее точке равно 36 т. Таким образом, уровень запаса сырья может быть увеличен не более чем на 12 т., при дальнейшем увеличении запаса этот ресурс становится избыточным.

Аналогично точка определяет максимально возможное увеличение запаса сырья : количество сырья , соответствующее этой точке равно т. Отсюда получаем, что уровень запаса сырья может быть увеличен не более чем на т.

Итак, запас ресурса может быть увеличен не более чем на 12 т., в то время как запас ресурса — не более чем на т.

Мерой чувствительности решения является стоимость (ценность) единицы ресурса. При изменении количества доступного ресурса на единицу (в пределах допустимого увеличения) значение целевой функции в оптимальном решении изменится на стоимость единицы ресурса.

Если обозначить стоимость ресурса через , то получим следующую формулу вычисления стоимости ресурса

.

В рассматриваемой задаче стоимость ресурса

(тысяч долларов на тонну сырья А),

а стоимость ресурса

(тысяч долларов на тонну сырья В).

Для определения пределов изменения коэффициентов целевой функции при условии сохранения найденного оптимального решения необходимо заметить, что изменение коэффициентов целевой функции влияет на наклон прямой линии уровня целевой функции, это может привести к тому, что оптимальное решение будет достигаться в другой угловой точке пространства допустимых решений.

На Рис. 3 видно, что при изменении коэффициентов целевой функции точка остается точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона линии будет лежать между углами наклона прямых, пересечением которых является точка : прямых, соответствующих ограничениям (1) и (2).

Рис. 3

Математически это условие можно записать следующим образом:

или

Итак, если коэффициенты и удовлетворяют этим неравенствам, то оптимальное решение будет достигаться в точке .

Дата добавления: 2014-12-29