Предел последовательности

Рассмотрим последовательность и нарисуем точки с координатами , a2=1/2, a3=1/3, a4=1/4,… на числовой оси (рис. 1).

0 1/5 1/4 1/3 1/2

Рис 1.

С ростом точки всё ближе приближаются к 0, “сгущаясь” около этой точки. Точка 0 обладает ещё одной особенностью. В любом интервале (a,b) содержащем точку 0 находится бесконечное число точек последовательности . С уменьшением интервала (a,b) увеличивается число членов последовательности не попавших в (a,b), но внутри этого интервала по-прежнему содержится бесконечное число точек . Точка 0, обладающая такими особенностями называется пределом последовательности и данный факт записывается следующим образом:

Дадим теперь точное определение:

Определение. Говорят, что число называется пределом последовательности , если "e > 0 $ номер N(e) начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству

(1)

Записывают это следующим образом:

Если у последовательности существует конечный предел,то говорят что она сходится. Если предела не существует или он равен ¥, то говорят, что последовательность расходится.

Докажем теперь,что

Согласно определению возьмём произвольное (сколь угодно малое) число

e > 0. Нам необходимо найти число N(e), начиная с которого выполняется неравенство

< e, или < e.

Решая полученное неравенство относительно n, получим n>1/e. Выберем в качестве N(e) число равное целой части 1/e - (обозначается это так: N(e)=[1/e ]), тогда, начиная с этого номера все члены последовательности {a_n} будут удовлетворять исходному неравенству.

На этом заканчивается доказательство того,что

При этом:

если e =1/10, тогда N(e) =10;

если e =1/1000, тогда N(e) =1000.

Важно запомнить, что число N(e) зависит от e. В общем случае, чем меньше e, тем больше N(e).

Дата добавления: 2014-12-23