Принципу аргументу

План

Тема №7. Частотні критерії стійкості систем автоматичного керування

7.1. Принципу аргументу.

7.2. Критерій стійкості Михайлова.

7.3. Критерій стійкості Найквіста.

7.4. Аналіз стійкості за логарифмічними частотними характеристиками

Частотні критерії стійкості дозволяють судити про стійкість САК за виглядом їх частотних характеристик. Ці критерії є графоаналітичними та отримали широке розповсюдження, оскільки вони дозволяють порівняно легко досліджувати стійкість САК високого порядку, а також мають наочність і просту геометричну інтерпретацію.

У основі частотних критеріїв стійкості лежить наслідок із відомого принципу аргументу.

Принцип аргументу. Нехай дано поліном n - го ступеня

(7.1)

Цей поліном може бути розкладений на співмножники:

(7.2)

де - корені рівняння D(s)=0.

На комплексній площині кожний корінь s_i зображується у вигляді вектора, проведеного з початку координат до точки s_i. Довжина цього вектора дорівнює модулю комплексного числа |s_i|, а кут між вектором і дійсною додатною піввіссю - аргументу числа, тобто Arg s_i.

Різниця (s - s_i) зображується вектором, проведеним з точки s_i до довільної точки s (рис. 7.1 а). Якщо взяти випадок, коли s = jw, то отримаємо:

(7.3)

Тоді кінці векторів () зводитимуться в одній точці s =jw на уявній вісі (рис.7.1,б). У виразі (7.3) являє собою вектор, рівний добутку елементарних векторів () та числа a_n. Модуль цього вектора дорівнює добутку модулів елементарних векторів та a_n, а аргумент дорівнює сумі аргументів елементарних векторів.

Прийнято вважати обертання вектора проти годинникової стрілки додатним, а за годинниковою – від’ємним. Тоді при зміні частоти w від -¥ до +¥ кожний вектор обернеться на кут p, якщо його початок, тобто корінь s_i, знаходиться зліва від уявної вісі (лівий корінь), і на кут - p, якщо корінь правий (рис.7.1 в).

Припустимо, що поліном (7.1) має m правих коренів і (n-m) лівих коренів (усього коренів у полінома n-го ступеня - n). Тоді за зміною w від -¥ до +¥ приріст аргументу вектора , що дорівнює сумі кутів обертання векторів (), дорівнює:

(7.4)

Приріст аргументу D(jw) при зміні частоти w від -¥ до +¥ дорівнює різниці між числом лівих і правих коренів рівняння D(s)=0, помноженої на p.

У цьому полягає принцип аргументу.

Якщо розглядати зміну частоти w від 0 до +¥, то зміна аргументу вектора буде вдвічі менша:

(7.5)

Дата добавления: 2014-12-25