КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член
Будем строить аппроксимирующую функцию в виде . (4.1) Коэффициенты определим из условий . (4.2) Распишем подробно эти условия: . …………….. . Определитель этой системы может быть получен из определителя Вандермонда
транспонированием матрицы и последующей перестановкой ее строк, т.е. будет отличаться от определителя Вандермонда лишь знаком. Последний, как известно, равен [8], т.е. отличен от нуля, если узлы интерполирования xi различны. Следовательно, коэффициенты интерполяционного полинома (4.1) всегда могут быть определены, и при том единственным образом. Таким образом, доказано существование и единственность интерполяционного полинома (4.1). Оценим остаточный член интерполирования , (4.3) где x* – точка, в которой значение функции вычисляется с помощью интерполяционного полинома. Предположим, что узлы упорядочены: и непрерывна на [a, b], .
Введем вспомогательную функцию , (4.4) где константа выбирается так, чтобы , отсюда . (4.5) При таком выборе функция f(x) обращается в нуль в (п+2) точках . На основании теоремы Ролля ее производная F'(x) обращается в нуль, по крайней мере, в (п+1)- й точке. Применяя теорему Ролля к F'(x), получаем, что ее производная F''(x) обращается в нуль по крайней мере в п точках. Продолжая эти рассуждения дальше, получаем, что обращается в нуль по крайней мере в одной точке x, принадлежащей отрезку [a, b]. Поскольку , из условия будем иметь . (4.6) Приравнивая правые части (4.5) и (4.6), получим представление остаточного члена в точке x* , (4.7) где . Остаточная абсолютная погрешность интерполирования в точке может быть оценена как , (4.8) где . Так как точка – произвольная точка отрезка [a, b], выражение (4.7) остаточного члена справедливо для любой точки . Найдем оценку остаточной погрешности интерполирования на всем отрезке [a, b]:
,
где . Оценить при произвольном расположении узлов интерполяции сложно. Если же узлы расположены на одинаковом расстоянии h друг от друга., то имеет примерно такой вид, как показано на рисунке 4.1. для п = 5 [3].
Рис. 4.1.
Вблизи центрального узла интерполяции экстремумы невелики, вблизи крайних узлов – несколько больше, а если Х выходит за крайние узлы интерполяции, то быстро возрастает. Термин «интерполяция» в узком смысле употребляют, если x заключен между крайними узлами; если же он выходит из этих пределов, то говорят об экстраполяции. Очевидно, что при экстраполяции далеко за крайним узлом ошибка может быть велика, поэтому экстраполяция малонадежна.
Дата добавления: 2014-12-25; Просмотров: 943; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |