Короткі теоретичні відомості

Позацентрове розтягання (стискання) прямого бруса

СКЛАДНИЙ ОПІР

Під складним опором (combined stress) розуміють різні комбінації простих навантажень бруса (розтягання (tension), стискання (compression), зсуву (shear), кручення (torsion) та згинання (bending).

У загальному випадку навантажування бруса у поперечних перерізах можуть діяти шість компонент внутрішніх сил – N, Q_y, Q_z, M_y, M_z, M_кр, пов’язаних з чотирма простими деформаціями стержня – розтяганням (стисканням), зсувом, крученням та згинанням.

Позацентрове розтягання-стискання (eccentric tension-compression) є окремим випадком складного згинання з розтяганням (стисканням), при якому брус розтягується силами, паралель­ними осі бруса, так що рівнодійна їх не збігається з віссю бруса (рис. 1.1), а проходить крізь точку р, що називається полюсом сили.

Нехай на брус довільного перерізу діє одна сила Р,яка паралельна осі бруса й пе­ретинає довільний поперечний переріз у точці р (рис. 1.1). Координати цієї точки в системі головних осей перерізу позначимо через у_р та z_р,а відстань від цієї точки до осі х, яка називається ексцентри­ситетом (eccentricity),– через е. У довільному поперечному перерізі при певному на­вантаженні діють такі внутрішні силові фактори: N = Р; М_у = = Рz_р; М_z = Ру_р.

Отже, напруження в довільній точці перерізу складатимуться з напру­жень осьового розтягання силою N та напружень від чистого згинання моментами М_у та М_z:

. (1.1)

Підставивши сюди замість N, М_у та М_z їхні значення, дістанемо

. (1.2)

Ця формула набере дещо іншого вигляду, якщо виразити головні мо­менти інерції через радіуси інерції:

. (1.3)

Для визначення небезпечної точки при складному профілі доцільно побудувати нейтральну лінію перерізу. Небезпечною в перерізі буде точ­ка, найвіддаленіша від нейтральної лінії.

Рівняння нейтральної лінії матимемо, прирівнявши до нуля праву частину рівняння (1.3) і позначивши координати точок на нейтральній лінії
через y₀ та z₀:

. (1.4)

Взявши в цьому рівнянні по черзі z₀ = 0 і у₀ = 0, знайдемо відрізки у_н та z_н, що відсікаються нейтраль­ною лінією на осях у та z (рис. 1.2):

; (1.5)

Із залежностей (1.5) випливає, що нейтральна лінія перетинає координатні осі в точках, які належать квадранту, протилежному тому, в якому лежить точка р.

Тепер, провівши паралельно ней­тральній лінії дотичні до контуру перерізу, знайдемо найбільш напру­жені точки А та В у розтягнутій та стиснутій зонах перерізу (рис. 1.2).

Напруження в цих точках та умови міцності мають вигляд

;

(1.6)

.

Тут z_А, у_А та z_B , у_B –– координати точок А та В, відповідно. Епю­ру напружень σ наведено на рис. 1.2. Для прямокутного перерізу умову міцності зручніше записати в такому вигляді:

. (1.7)

Формули (1.6) та (1.7) справедливі й у випадку дії стискальної сили Р, якщо немає небезпеки виникнення поздовжнього згинання.

Ядро перерізу (core of a cross-section). Досі ми зображали нейтральну лінію як таку, що проходить крізь переріз. Проте взагалі вона може проходити й поза перерізом. Дійсно, якщо сила Р прикладена в центрі ваги, то нейтральна лінія проходить у нескінченності, оскільки напруження в цьому разі розподілені рівномірно.

Із збільшенням ексцентриситету е (рис. 1.3) нейтральна лінія наближа­тиметься до перерізу і при деякому положенні сили Р (на рис. 1.3, на­приклад, при положенні А₃) вперше торкнеться контуру перерізу. При подальшому збільшенні ексцентриситету нейтральна лінія перетинає переріз, причому нормальні напруження в перерізі будуть обох знаків: з однієї сторони від нейтральної лінії — розтягальними, з іншої — стискальними.

Можна визначити зону таких віддалень сили Р від осі, при яких нормальні напруження по всьому поперечному перерізу будуть одного знака. Така зона називається ядром перерізу. Це важливо для брусів з матері­алів, що погано чинять опір розтяганню (наприклад, для цегляної клад­ки, для бетону та сірого чавуну).

Отже, ядром перерізу називають зону навколо центра ваги поперечного перерізу, яка має таку властивість: якщо позацентрово прикладене наван­таження розміщене в зоні ядра, то нормальні напруження в усіх точках поперечного перерізу мають один знак.

Для побудови ядра перерізу будемо задаватися різними положеннями нейтральної лінії, дотичними до контуру перерізу, й обчислювати коор­динати відповідних точок прикладання сили Р за такими формулами, що випливають з виразу (1.5):

; . (1.8)

Обчислені координати визначають точки, що лежать на межі ядра пе­рерізу.

Для полегшення побудови ядра перерізу використаємо таку властивість нейтральної лінії: при повороті нейтральної лінії навколо деякої фіксованої точки А контуру перерізу точка прикладання сили переміщується вздовж деякої прямої. Щоб обґрунтувати цю властивість, досить підставити в рівняння (1.4) координати точки А(у_ОА, z_ОА), що лежить на нейтральній лінії. Матимемо

. (1.9)

Дійсно, рівняння (1.9) при z_ОА = const є рівнянням прямої лінії віднос­но координат точок прикладання сили Р – (у_р, z_р).

Отже, для побудови ядра перерізу будь - якої фігури треба провести кілька положень нейтральної лінії, що збігаються зі сторонами перерізу, а також дотикаються до точок, які виступають.

Побудуємо, наприклад, ядро перерізу для прямокутника АВСD (рис. 1.4). Сумістимо спочатку нейтральну лінію зі стороною СD (положення 1 – 1). Очевидно, в цьому разі

; .

Тоді із виразів (1.8)

; .

Тут ураховано, що

; .

Отже, координати точки 1' ядра перерізу визначені.

Сумістимо тепер нейтральну лінію зі стороною АD (положення 2–2). Маємо

; .

Тоді координати точки 2' ядра

; .

Аналогічно визначаються коор­динати точок 3′ та 4', що відповіда­ють положенням 3 – 3 та 4 – 4 нейтральної лінії.

Оскільки при переході нейтраль­ної лінії з однієї сторони на іншу вона повертається навколо кутової точ­ки перерізу, то точка прикладання сили переміщується по прямій, утво­рюючи контур ядра. Отже, ядро пе­рерізу буде ромбом з діагоналями, які дорівнюють одній третині відпо­відної сторони перерізу.

Дата добавления: 2015-03-29