КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Решение. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно параметров
Решить и исследовать квадратные уравнения относительно параметров Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Пусть квадратный трехчлен имеет корни и . Тогда, по теореме Виета: или а или Подставим в квадратный трехчлен вместо p и q их значения, получим: Справедливо и обратное. Таким образом: Можно показать, что
Пример 1. При каком значении k корни уравнения будут равны между собой:
Известно, что квадратное уравнение имеет равные корни, если его дискриминант равен нулю, а первый коэффициент отличен от нуля: D = 0. Найдем дискриминант: Он должен равняться нулю: При этом значении k первый коэффициент k - 1 будет равен 4, т. е. отличен от нуля. И все-таки, есть смысл рассмотреть случай, когда первый коэффициент равен нулю: k - 1 = 0, k = 1. При этом значении k уравнение примет вид: В этом случае уравнение также имеет один корень, но мы не можем принять это значение k, поскольку в условии требуется выяснить, когда уравнение имеет два равных корня, а при k = 1 уравнение "вырождается" в линейное и мы имеем один корень.
Ответ: при k = 5.
Пример 2. При каком значении a уравнение имеет действительные корни:
Решение
1. Сразу рассмотрим случай, когда первый коэффициент равен нулю: При этом значении a уравнение станет линейным и будет иметь один корень значит, значение удовлетворяет условию задачи. 2. Известно, что квадратное уравнение будет иметь корни, если его дискриминант неотрицателен. Найдем дискриминант: Значение из первого случая, входит в полученный промежуток.
Ответ:
Пример 3. При каком значении a уравнение имеет действительные корни одного знака:
Решение
1. В этой задаче надо потребовать, чтобы первый коэффициент не был равен нулю, иначе уравнение станет линейным и вести разговор о "знаках корней" во множественном числе становится бессмысленным, ибо линейное уравнение, может иметь либо один корень, либо бесконечное множество, или вовсе не имеет корней. Кроме того, чтобы выяснить вопрос о знаках корней, нам необходимо преобразовать уравнение к приведенному, а значит делить все его коэффициенты на первый коэффициент, что было бы сделать невозможным, будь он равен нулю. Итак,
2. Чтобы уравнение имело корни, его дискриминант должен быть неотрицательным:
3. Преобразуем уравнение к приведенному, получим:
Чтобы уравнение имело корни одного знака, его свободный член должен быть положительным: В результате получим систему, состоящую из трех неравенств: Изображаем решения первых двух неравенств на числовых осях, а третье неравенство решим методом промежутков (рис. 28):
Рис. 28
Ответ:
Пример 4. Дано уравнение: Определить, при каком значении a: 1) уравнение имеет равные корни; 2) уравнение имеет корни, равные по модулю и противоположные по знаку.
Решение
Первый коэффициент этого уравнения отличен от нуля . 1) Квадратное уравнение имеет равные корни, если его дискриминант равен нулю:
Ответ: при
2) Во-первых, уравнение должно иметь различные корни, а значит Получим неравенство: Во-вторых, чтобы корни были равны по модулю, но противоположны по знаку (их сумма, в этом случае, равна нулю, а произведение отрицательно), второй коэффициент приведенного квадратного уравнения должен быть равен нулю, а свободный член отрицательным. отсюда находим, что и Получим смешанную систему (её решение см. по рис. 29): Рис. 29 Общим решением является только одно значение a, a = 2.
Ответ: при a = 2.
Пример 5. При каких значениях k уравнение имеет хотя бы один положительный корень:
Решение
Идея решения состоит в следующем: определяем множество значений k, при которых уравнение вообще имеет решения, обозначим это множество - A; затем находим множество значений k, при которых уравнение имеет отрицательные корни, обозначим это множество - B; тогда, если из множества A вычесть множество B, тогда получим множество значений k, при которых уравнение имеет хотя бы один положительный корень, обозначим это множество значений X, X = A - B. 1. Находим, при каких значениях k уравнение имеет корни. Если дискриминант неотрицателен: Решим это неравенство методом промежутков (см. рис. 30): Рис. 30
Получаем объединение множеств: При этих значениях k корни могут быть оба положительными, разных знаков и оба отрицательными. 2. Найдем значения k, при которых оба корня отрицательны. По теореме Виета имеем систему неравенств: и , 3. Найдем разность множеств A - B. Это легко сделать графически. Для этого на двух числовых осях изобразим множество A и множество B, а на третьей числовой оси разность этих множеств (см. рис. 31). Рис. 31
Отсюда находим,
Ответ: при
Пример 6. Найти значения p, при которых уравнение не имеет корней: .
Решение
В первую очередь, выясним, будет ли иметь решение уравнение, когда его первый коэффициент равен нулю: Уравнение примет вид: В этом случае уравнение корней не имеет, значит, значение удовлетворяет условию задачи. Теперь, в дальнейших рассуждениях, будем предполагать, что Преобразуем уравнение. Для этого положим получим уравнение Полученное уравнение не будет иметь корней в двух случаях: 1-й случай, когда дискриминант уравнения отрицателен 2-й случай, когда уравнение имеет два отрицательных корня.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1-й случай. Найдем дискриминант и определим значения p, при которых он будет отрицателен:
(см. рис. 32), Рис. 32 2-й случай. Во-первых, уравнение должно иметь корни, что произойдет при Во-вторых, оба корня должны быть отрицательными. Чтобы выяснить, при каких значениях p это произойдет, преобразуем это уравнение к приведенному:
По теореме Виета, произведение корней равно свободному члену а их сумма второму коэффициенту с противоположным знаком: Чтобы оба корня были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы свободный член был положительным, а второй коэффициент, взятый с противоположным знаком - отрицательным. Получим систему:
(далее см. рис. 33). Рис. 33
Объединяя множества, полученные из первого и второго случаев, а также, помня, что при p = 10 уравнение также не имеет решений, получаем множество, при котором уравнение не имеет корней:
Ответ:
Пример 7. При каких значениях m корни уравнения заключены в промежутке между -1 и 2?
Решение
Найдем условия, при которых функция имеет корни и , заключены между числами p и q. Во-первых, чтобы функция имела различные корни, дискриминант трехчлена должен быть положительным: Поскольку первый коэффициент положительный, тогда ветви параболы - графика функции должны быть направлены вверх (см. рис. 34). Рис. 34
Во-вторых, абсцисса вершины параболы должна быть заключена на промежутке между p и q, т. е. В-третьих, значения функций в точках p и q должны быть положительны, так как точка p располагается левее точки , а точка q правее точки , а следовательно, ветви параболы слева от и справа от , расположены выше оси OX, т. е. значения и Эти три условия являются необходимыми и достаточными. Таким образом, чтобы найти значения m, при которых корни трехчлена находились бы на заданном промежутке, необходимо решить систему неравенств: Применим эти условия к данной задаче. Найдем дискриминант:
Найдем значения трехчлена в точках -1 и 2:
Найдем значение Получим систему неравенств:
Находим общие решения систему с помощью числовых осей (см. рис. 35): Рис. 35
Результатом будет промежуток:
Ответ: при
Условия расположения корней квадратного трехчлена относительно некоторых чисел p и q, в общем случае, приведены в нижеприведенной таблице. Там же дана геометрическая иллюстрация условий.
Здесь и - корни трехчлена
Пример 8. При каких значениях a уравнение имеет более двух корней ?
Решение
Если пробовать исследовать уравнение с помощью дискриминанта, то сразу становится понятным тщетность попыток, ибо известно, что знак дискриминанта определяет число корней не более двух. Если D > 0, тогда уравнение имеет два различных действительных корня, если D = 0, тогда два равных корня (или один корень), если D < 0, тогда оно совсем не имеет корней. Приходим к очень простой мысли, что уравнение будет иметь более двух корней, если оно обращается в числовое равенство - тождество, выполняющееся при любом значении x. Это может быть только в одном случае, когда коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю, тогда уравнение примет вид 0 = 0 и будет иметь бесконечное множество корней. Установим, при каких значениях a это произойдет. Для этого одновременно должны выполняться три равенства, т. е. надо решить систему уравнений:
Ответ:
Задание 1
1. При каких значениях параметра a данное квадратное уравнение: а) имеет два различных действительных корня; б) имеет один действительный корень; в) не имеет действительных корней, если: 1) 2) 3) 2. При каких значениях m оба корня уравнения : а) меньше 1; б) больше -1? 3. При каких значениях k один корень уравнения больше 2, а другой корень меньше 2? 4. При каких значениях k один корень уравнения меньше 1, а другой корень больше 2? 5. При каком наименьшем целом k парабола пересечет ось абсцисс в двух точках, лежащих по одну сторону от начала координат?
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 4066; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |