КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Пример 2-1 Средняя точка прямой
Рассмотрим отрезок AB из рис. 2-2. Положение векторов конечных точек такое: [ А ]= [0 1], [ В ]= [2 3]. Преобразование [ Т ] = осуществляет перемещение вектора на линию А В : Средняя точка A*B* будет иметь координаты Координаты средней точки линии AB равны Преобразуем среднюю точку и получим что полностью эквивалентно предыдущему результату. Применением этих результатов в машинной графике любая прямая может быть преобразована в любую другую прямую путем простого преобразования ее конечных точек и восстановления линии между ними. 2-7 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ Результатом преобразования двух параллельных линий с помощью (2x2)-матрицы снова будут две параллельные линии. Это можно увидеть, рассмотрев линию между точками [ А ] = [ x 1 y 1], [ В ]= [ x 2 y 2] и параллельную ей линию, проходящую между точками Е и F. Покажем, что для этих линийлюбое преобразование сохраняет параллельность. Так как АВ, EF и А В и Е F параллельны, то угол наклона линий АВ и EF определяется следующим образом: (2-16) Преобразуем конечные точки АВ, воспользовавшись матрицей общегопреобразования размером (2 х 2): (2-17) Наклон прямой А В определяется следующим образом: или . (2-18) Так как наклон т не зависит от x 1, x 2, y 1, y 2, а m, a, b, c и d одинаковы для EF и АВ, то т одинаково для Е F и А В . Таким образом, параллельные линии сохраняют параллельность и после преобразования. Это означает, что при преобразовании (2 х 2) параллелограмм преобразуется в другой параллелограмм.Эти тривиальные выводы демонстрируют большие возможности использованияматрицы преобразования для создания графических эффектов. 2-8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ Результатом преобразования с помощью (2х 2) - матрицы пары пересекающихсяпрямых линий также будет пара пересекающихся линий.Проиллюстрируем этот факт на примере двух прямых, изображенных на рис. 2-3 штриховой линией и заданных уравнениями
В матричном представлении эти уравнения будут иметь вид: или [ X ][ M ]=[ B ]. (2-19) Если существует решение этой системы уравнений, то линии пересекаются, в противном случае они параллельны. Решение можно найтипутем инверсии матрицы. В частности, (2-20) Матрица, обратная [ M ], имеет следующий вид: (2-21) так как [ М ][ М ]-1= [ I ], где [ I ] —единичная матрица. Поэтому координаты точкипересечения двух линий можно найти следующим образом: (2-22) Если обе линии преобразовать с помощью (2 х 2)-матрицы общего преобразования вида , то их уравнения будут иметь вид
Соответственно можно показать, что (2-23) и где i =1,2 (2-24) Точка пересечения линий после преобразования отыскивается таким жеобразом, как и в случае исходных линий: . Воспользовавшись выражениями (2-23) и (2-24), получим (2-25) Возвращаясь теперь к точке пересечения [ xi yi ]исходных линий и применяя уже полученную матрицу преобразования, имеем (2-26) Сравнение уравнений (2-25) и (2-26) показывает, что они одинаковы. Итак, точка пересечения преобразуется точно в другую точку пересечения.
Дата добавления: 2015-04-25; Просмотров: 422; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |