Диаграмма разброса (рассеяния)

Диаграмма разброса (рассеяния) применяется для выявления зависимости (корреляции) одних показателей от других или для определения степени корреляции между n парами данных для переменных x и y:

(x₁,y₁), (x₂,y₂),..., (x_n, y_n).

Эти данные наносятся на график (диаграмму разброса), и для них вычисляется коэффициент корреляции по формуле

где

ковариация;

, стандартные отклонения случайных переменных x и у;

n – размер выборки (количество пар данных – х_i и у_i);

и – среднеарифметические значения х_i и у_i cоответственно.

Рассмотрим различные варианты диаграмм разброса (или полей корреляции) на рис. 5.15.:

Рис. 5.15. Варианты диаграмм разброса.

В случае:

а) можно говорить о положительной корреляции (с ростом x увеличивается y);

б) проявляется отрицательная корреляция (с ростом x уменьшается y);

в) при росте x y может как расти, так и уменьшаться, говорят об отсутствии корреляции. Но это не означает, что между ними нет зависимости, между ними нет линейной зависимости. Очевидная нелинейная (экспоненциальная) зависимость представлена и на диаграмме разброса г).

Коэффициент корреляции всегда принимает значения в интервале -1 ≤ r ≤ 1, т.е. при r > 0 – положительная корреляция, при r = 0 – нет корреляции, при r < 0 – отрицательная корреляция.

Для тех же n пар данных (x₁,y₁), (x₂,y₂),..., (x_n, y_n) можно установить зависимость между x и y. Формула, выражающая эту зависимость, называется уравнением регрессии (или линией регрессии), и ее представляют в общем виде функцией

у = а + bх.

Для определения линии регрессии (рис.4.19) необходимо статистически оценить коэффициент регрессии b и постоянную a. Для этого должны быть выполнены следующие условия:

1) линия регрессии должна проходить через точки (x,y) средних значений x и y.

2) сумма квадратов отклонений от линии регрессии значений y по всем точкам должна быть наименьшей.

3) для расчета коэффициентов а и b используются формулы

.

Т.е. уравнением регрессии можно аппроксимировать реальные данные.

Рис. 5.16. Пример линии регрессии.

Дата добавления: 2015-04-29