Кривая Гаусса 1 страница

Уравнение кривой Гаусса имеет вид

, (3.54)

где у – частота появления события или плотность распределения вероятностей.

а – координата от начала отсчета до центра группирования размеров, мм;

σ – среднеквадратичное отклонение, мм;

х – случайная величина, мм.

При совпадении центра группирования с началом отсчета величин (а=0)

. (3.55)

В общем случае а=М(х), где М(х) – математическое ожидание случайной величины х.

, (3.56)

где х_i – возможное значение случайной величины.

,

где Р(х_i) – частота повторений события.

. (3.57)

Т. К. функция четная, изменим предел интегрирования

. (3.58)

Для удобства при дальнейшем использовании этой формулы в это уравнение вводится новый аргумент z

, (3.59)

тогда

. (3.60)

Функция Ф₀(z) называется функцией Лапласа.

При z=0 функция Ф₀=0, при z= Ф₀=0.5, при z=-

Ф₀=-0.5

Анализ формулы показывает, что площадь, ограниченная отрезками z₁ и z₂ и кривой представляет собой вероятность попадания случайной величины в данный интервал.

Если взять х=3σ, тогда z=3. Ф0(3)=0,49865*2=0,99730.

Значение ±3σ служит мерой точности любого станка или прибора.

3.10 Обработка результатов при многократном измерении одной и той же величины

Для определения параметров возьмем партию деталей, состоящей из n штук.

Измерим диаметр детали и, расположив их в порядке возрастания величин, получим ряд случайных дискретных величин.

Измерение значений (диаметров) наблюдаемых объектов называют парированием.

Если исследуемая функция принимает конечное значение, то ее называют дискретной.

Если она может принимать любые значения в некотором интервале, то ее называют непрерывной.

Расположение размеров в порядке возрастания или убывания называют ранжированием.

Число, показывающее сколько раз число встречается в ряде наблюдения, называют частотой и обозначают n.

Отношение частоты n к общему числу наблюдения N называют частностью

. (3.61)

А разность между наибольшим и наименьшим размерами называется размахом колебаний

. (3.62)

Для упрощения расчетов размах колебаний разбивают на к интервалов. Для определения оптимального значения величины интервалов h используют формулу Стейчжера

, (3.63)

(3.64)

Если k<8, то при дальнейших расчетах k=8.Если k>15, то k=15. Если 8<k<15, то принимают то, что получилось.

За начало первого интервала рекомендуется принимать величину

, (3.65)

за начало второго

. (3.66)

за начало третьего

(3.67)

Характер рассеивания значений случайной величины определяется гистограммой или эмпирической кривой, называемой полигоном, представленными на рисунке 3.11.

Рисунок 3.11- Гистограмма

Случайными величинами считаются размеры x_i, равные среднему арифметическому из диаметров каждого интервала. Тогда

, (3.68)

где x_i – среднее значение интервала, мм;

n_i – количество деталей в данном интервале.

Рассеивание значений относительно центра группирования характеризуется эмпирическим среднеквадратическим отклонением S.

. (3.69)

Эта формула справедлива, если число деталей в партии N<30. Если N>30, тогда

. (3.70)

3.11 Статистическая проверка статистических гипотез

Полученные эмпирические данные необходимо подвергнуть статистическому анализу. Это делается с помощью выдвижения гипотез. Эта гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверить. При проверке могут быть допущены ошибки двух родов. Первая заключается в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вторая – что будет принята неправильная гипотеза.

Ошибку первого рода обозначают t_a – уровень значимости.

. (3.71)

В таблицах приводятся численные значения критериев Стьюдента t(P, n).

Если действительное значение t_a меньше теоретического критерия Стьюдента, то считают, что наибольшее значение содержит грубую ошибку.

После исключения грубых ошибок выдвигают гипотезу о законах нормального распределения.

Часто в метрологии используют критерий Пирсона

, (3.72)

где k – количество интервалов;

n_i – количество деталей в i-том интервале,

N – общее количество деталей,

P_i – вероятность попадания в i-тый интервал.

Критерий Пирсена имеет число степеней свободы

, (3.73)

где z_i – левая граница i-того интервала, мм.

, (3.74)

где x_i – среднее значение i-того интервала, мм.

Левую границу наименьшего интервала z_i = z_min заменяют на (-¥). z_i = z_min®-¥, а z_i = z_max®+¥.

Если критерий Пирсена , то гипотеза о нормальном распределении случайной величины принимается.

3.12 Шероховатость поверхности

На обработанной поверхности за счет пластических деформаций детали образуются неровности. В зависимости от соотношения (шага волны к высоте волны) эти неровности делятся на три группы:

<40 – шероховатость поверхности;

40< <1000 – волнистость поверхности;

>1000 – отклонение от геометрической формы.

Шероховатостью поверхности называют совокупность микронеровностей с относительно малыми шагами, образующих микронеровности поверхности детали и рассматриваемых в пределах рассматриваемой детали.

	m

Для оценки шероховатости поверхности предусмотрено 6 нормированных параметров:

1) R_a – среднее арифметическое отклонение профиля ,мкм

. (3.75)

2) R_z – высота неровностей профиля по десяти точкам, мкм.

,

3)R_max – наибольший шаг неровностей;

4)R_m – средний шаг неровностей, мкм,

.

5)S – средний шаг местных выступов профиля, мкм;

.

6)t_p – относительная опорная длина профиля, %;

,

где h_р – опорная длина профиля

; (3.76)

, (3.77)

где Р – уровень сечения профиля.

Базовой линией (поверхностью) называется линия (поверхность заданной геометрической формы, определенным образом проведенная относительно профиля (поверхности) и служащая для оценки геометрических параметров поверхности.

Базовая длина l — это длина базовой линии, используемая для выделения неровностей, характеризующих шероховатость поверхности, и для количественного определения ее параметров. Базовые длины устанавливаются с учетом эксплуатационных особенностей. Так как базовая длина позволяет учесть только те неровности, шаг которых меньше базовой длины, то числовые значения базовых длин определяются по неровностям, свойства которых номеруются.

Средней линией профиля т называется базовая линия, имеющая форму номинального (геометрического) профиля поверхности и делящая действительный профиль так, что в пределах базовой длины сумма квадратов расстояний y_1, y₂,..., у„ точек профиля до этой линии минимальна.

В системе М числовые значения параметров шероховатости определяются следующими параметрами.

Среднее арифметическое отклонение профиля R_a — среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений профиля у_i в пределах базовой длины l. Высота неровностей профиля по десяти точкам R_Z— сумма средних арифметических абсолютных отклонений точек пяти наибольших минимумов H_imin и пяти наибольших максимумов H_{i max} профиля в пределах базовой длины l.

H_{i min}, H_{i max} — ординаты соответственно пяти высших и пяти низших точек в пределах базовой длины, измеренные от линии, эквидистантой средней линии и не пересекающей профиля.

Наибольшая высота неровностей профиля R_max — расстояние между наивысшей точкой выступов и наинизшей точкой впадин профиля в пределах базовой длины

Средний шаг неровностей профиля по средней линии S_m — среднее значение шага неровностей в пределах базовой длины.

S_mi -шаг неровностей, под которым понимается длина отрезка линии, ограниченная точками пересечения этой линией одноименных сторон соседних неровностей.

Средний шаг неровностей по вершинам S- среднее значение расстояний между вершинами характерных неровностей в пределах базовой длины.

Опорная длина профиля η_p — сумма длин отрезков b_i в пределах базовой длины, отсекаемых на заданном уровне р в материале выступов профиля линией, эквидистантой средней линии т

Уровень р сечения профиля — расстояние между линией выступов профиля и линией, пересекающей профиль эквидистантно линии выступов профиля.

Числовые значения уровня сечения профиля p выбирают из ряда 5; 10; 15; 20; 25; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90% от R_max

Относительная опорная длина t_p профиля — отношение опорной длины профиля tj к базовой длине /

Относительную опорную длину t_p выбирают из ряда: 10; 15; 20-25; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.

3.13 Обозначение шероховатостей на чертежах

Шероховатость поверхностей обозначают на чертеже для всех выполняемых по данному чертежу поверхностей изделия, независимо от методов их образования, кроме поверхностей, шероховатость которых не обусловлена требованиями конструкции.

Структура обозначения шероховатости поверхности приведена на рисунке 3.13

При наличии в обозначении шероховатости только значения параметра (параметров) применяют знак без полки.

Рисунок 3.13-Обозначение шероховатости.

В обозначении шероховатости поверхности применяют один из знаков, изображенных на рисунке 3.14

Высота h должна быть приблизительно равна применяемой на чертеже высоте цифр размерных чисел. Высота H равна (1,5... 3) h. Толщина линий знаков должна быть приблизительно равна половине толщины сплошной основной линии, применяемой на чертеже.

В обозначении шероховатости поверхности, способ обработки которой конструктором не устанавливается, применяют знак

В обозначении шероховатости поверхности, которая должна быть образована только удалением слоя материала, применяют знак

В обозначении шероховатости поверхности, которая должна быть образована без удаления слоя материала, применяют знак с указанием значения параметра шероховатости.

Поверхности детали, изготовляемой из материала определенного профиля и размера, не подлежащие по данному чертежу дополнительной обработке, должны быть отмечены знаком без указания параметра шероховатости.

Состояние поверхности, обозначенной знаком , должно соответствовать требованиям, установленным соответствующим стандартом или техническими условиями, или другим документом, причем на этот документ должна быть приведена ссылка, например, в виде указания сортамента материала в графе 3 основной надписи чертежа по ГОСТ

2.104-68.

Значение параметра шероховатости по ГОСТ 2789-73 указывают в обозначении шероховатости после соответствующего символа, например: Ra 0,4; Rmax 6,3; Sm 0,63; t₅₀ 70; S 0,032; Rz 50.

Примечание. В примере t₅₀ 70 указана относительная опорная длина профиля t_p = 70 % при уровне сечения профиля р = 50 %,

(Измененная редакция, Изм. № 2).

При указании наибольшего значения параметра шероховатости в обозначении приводят параметр шероховатости без предельных отклонений, например: ;

При указании наименьшего значения параметра шероховатости после обозначения параметра следует указывать «min», например: ;

(Введены дополнительно, Изм.№ 2).

При указании номинального значения параметра шероховатости поверхности в обозначении приводят это значение с предельными отклонениями по ГОСТ 2789-73, например:

Ra1 + 20 %; Rz 100 _{–10 %};Sm 0,63 ^+20%; t₅₀70± 40 % и т. п.

(Измененная редакция, Изм. № 2).

1.8. При указании двух и более параметров шероховатости поверхности в обозначении шероховатости значения параметров записывают сверху вниз в следующем порядке параметр высоты неровностей профиля параметр шага неровностей профиля, относительная опорная длина профиля

.

.

При нормировании требований к шероховатости поверхности параметрами Ra, rz, Rmax базовую длину в обозначении шероховатости не приводят, если она соответствует указанной в приложении 1 ГОСТ 2789-73 для выбранного значения параметра шероховатости.

(Измененная редакция, Изм. № 2).

Условные обозначения направления неровностей должны соответствовать приведенным в таблице. Условные обозначения направления неровностей приводят на чертеже при необходимости.

Таблица 3.1 – Направления неровностей

Типы направления неровностей	Обозначение	Типы направления неровностей	Обозначение

Высота знака условного обозначения направления неровностей должна быть приблизительно равна h. Толщина линий знака должна быть приблизительно равна половине толщины сплошной основной линии.

Вид обработки поверхности указывают в обозначении шероховатости только в случаях, когда он является единственным, применимым для получения требуемого качества поверхности, например: .

3.14 Допуски и посадки подшипников качения

Для подшипников качения стандартом предусмотрено 5 классов точности подшипников: 0, 6, 5, 4 и 2.

Независимо от класса точности для подшипников качения стандартом предусмотрены отклонения от номинальных размеров.

Точность работы подшипникового узла зависит от точности присоединительных размеров. В связи с этим стандарт рекомендует при изготовлении присоединительных размеров следующие квалитеты точности и шероховатостей поверхности

Таблица 3.2 –Зависимость шероховатости от класса точности подшипника

Класс точности	Вал d£80	Вал d³80	Отверстие D£80	Отверстие D³80
	1,25	2,5	1,25	2,5
6, 5	0,63	1,25	0,63	1,25
4, 2	0,32	0,63	0,63	1,25

Класс точности	отверстие	вал	допуск
0, 6	JT7	JT6	¼ T
5, 4	JT6	JT5	1/8T
	JT5	JT4	---

Обозначение подшипников качения - Р6 – 306

6- класс точности,306- номер подшипника.

Для подшипников качения предусмотрено три вида нагружения колец подшипника:

· местный

· циркуляционный

· колебательный

При местном нагружении кольцо воспринимает постоянную по направлению результирующую радиальную нагрузку лишь ограниченным участком окружности дорожки качения и передает ее соответствующему ограниченному участку посадочной поверхности вала или корпуса. Такое нагружение возникает, например, когда кольцо не вращается относительно нагрузки.

При циркуляционном нагружении кольцо воспринимает результирующую радиальную нагрузку последовательно всей окружностью дорожки качения и передает ее всей посадочной поверхности вала или корпуса. Такое нагружение кольца получается при его вращении и постоянно направленно нагрузке или, наоборот, при радиальной нагрузке , вращающейся относительно рассматриваемого кольца.

При колебательном нагружении не вращающееся кольцо воспринимает равнодействующую двух радиальных нагрузок ограниченным участком окружности дорожки качения и передает ее соответствующему ограниченному участку посадочной поверхности вала или корпуса.

Для циркуляционного нагружения интенсивность нагрузки R, Н/м, определяется по формуле

, (3.78)

где Р – радиальная сила, действующая на подшипник (реакция опоры),Н;

b – рабочая ширина подшипника, м,

k_П – динамический коэффициент посадки,

F – коэффициент, учитывающий степень ослабления натяга при полом вале,

F_А– коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки между рядами шариков или роликов в двухрядных подшипниках.

Рабочая ширина подшипника b,м;

, (3.79)

где В – ширина подшипника, м;

r – радиус фаски, м.

По интенсивности нагрузки по таблицам стандарта выбирают посадки для внутреннего и наружного колец подшипников качения. Условное обозначение посадок показано на рисунке (3.17)

Рисунок 3.17- Условное обозначение посадок на чертежах

3.15 Допуски и посадки резьбовых сопряжений

Резьбовые сопряжения бывают различные по классификации. Если классифицировать в зависимости от профиля винтовой поверхности, то они бывают: треугольные, трапециидальные, прямоугольные, круглые.

По форме поверхности, на которую наносится резьба: цилиндрические и конические. В зависимости от направления винтовой поверхности: правые и левые. Резьбы бывают однозаходные и многозаходные. Наибольшее распространение в машиностроении получили метрические крепёжные резьбы. Основные параметры и профиль метрической крепёжной резьбы представлены на рисунке 3.18

Рисунок 3.18 – Основные параметры и профиль метрической крепёжной резьбы.

В зависимости от длины нарезанной части резьбы подразделяются на три группы: S – малая длина свинчивания, N – нормальная длина свинчивания, L – большая длина свинчивания.

К группе S относятся длины свинчивания до , где P – шаг резьбы, d(D) – наружный диаметр резьбы. К группе N относятся длины свинчивания от до и к группе L длины свинчивания свыше . Форма впадины резьбы может быть как закруглённой, так плоскосрезанной. В зависимости о шага резьбы они подразделяются на резьбы с крупным шагом и резьбы с мелким шагом. Различие между этими видами заключается в том, что у резьб с крупным шагом одному диаметру соответствует строго определённое значение шага резьбы. У резьб с мелким шагом, одному и тому же значению диаметра могут соответствовать различные значения шага. Стандарт приводит три ряда значений диаметров и шагов. При выборе размеров диаметров следует предпочитать второй ряд третьему, а третий ряд второму.

Резьбовые сопряжения выполняют различные эксплуатационные требования. Они предназначены для закрепления деталей, для передачи расчётных нагружений, для преобразования кругового движения в прямолинейное и т.д.

Взаимозаменяемость резьбовых соединений заключается в обеспечении свинчивания и высоком качестве сопряжений. При изготовлении резьбовых изделий неизбежны изменения всех резьбовых параметров.

Свинчиваемость резьбового соединения с погрешностью шага может быть обеспечена в том случаи, если средний диаметр болта - будет меньше или средний диаметр гайки - больше на величину . Значение этой величины для метрической крепёжной резьбы будет равно

, (3.80)

где - погрешность шага резьбы на длине свинчивания, мм.

Свинчиваемость резьбовых изделий с погрешностью для профиля может быть обеспечена в том случаи, если средний диаметр болта будет уменьшен или средний диаметр гайки увеличен на величину .

, (3.81)

где P –шаг резьбы, мм;

- погрешность половины угла профиля.

Погрешность половины угла профиля – это разность между действительным и номинальным половинами угла профиля.

Для упрощения контроля резьб и расчёта допусков введено понятие приведённого среднего диаметра резьбы, учитывающего влияние погрешностей параметрической резьбы: среднего диаметра, диаметральной компенсации шага резьбы и диаметральной компенсации погрешности половины угла профиля на свинчиваемость.

Средний диаметр резьбы увеличенный у болта и уменьшенный у гайки на суммарную диаметральную компенсацию отклонений шага, полвины угла профиля и отклонений формы, называется приведенным средним диаметром.

Приведённый средний диаметр для болта , мм,

, (3.82)

где - значение измеренного среднего диаметра болта, мм.

Для гайки приведённый средний диаметр , мм, равен

Дата добавления: 2015-04-30