Проверка гипотезы о соответствии распределения случайных погрешностей нормальному

В каждом конкретном практическом случае гипотеза о соответствии распределения случайных погрешностей нормальному, назовем её гипотезой , требует проверки. Между теоретическим нормальным распределением и статистическим распределением случайной погрешности неизбежны расхождения. Необходимо ответить на вопрос: являются ли эти расхождения случайными, обусловленными ограниченным числом наблюдений или эти расхождения свидетельствуют о том, что данное статистическое распределение не может рассматриваться как нормальное. Для ответа на этот вопрос служат «критерии согласия».

«Критерий согласия» - это некоторая величина U, характеризующая степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величина U может быть выбрана различными способами, например, в качестве U можно взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей от соответствующих статистических частот или максимальное отклонение статистической функции распределения случайной погрешности от теоретического нормального закона и т.п. Каким бы способом не была выбрана величина , она является случайной величиной, закон распределения которой зависит от закона распределения случайной величины и от числа измерений . Если гипотеза верна, то закон распределения величины определяется законом распределения величины и числом . Распределение величины можно описать математически и указать вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное значение при известных и .

Мерой расхождения теоретического нормального закона распределения и статистического распределения случайной погрешности будет вероятность того, что теоретическая величина , т.е. соответствующая случаю, когда гипотеза о нормальном распределении верна, превзойдет значение , вычисленное для конкретной реализации измерений. Если эта вероятность ничтожна, а значит событие большего чем в опыте расхождения теоретического и статистического нормального закона маловероятно, то гипотезу следует отклонить (при этом говорят, что гипотеза имеет низкий уровень значимости). Если даже при соответствии статистического распределения нормальному возможны еще большие чем в опыте расхождения теоретического и статистического законов распределения, гипотезу следует принять.

Рассмотрим наиболее часто применяемый в метрологии критерий согласия – «критерий » Пирсона.

Согласно Пирсону в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями используется сумма квадратов отклонений теоретических вероятностей попадания случайной погрешности в интервал : от соответствующих статистических частот

, (3.11)

где - число интервалов, на которые разбивается интервал при вычислении статистических частот распределения случайных погрешностей; - «вес» интервала, вычисляемый как

(3.12)

При таком выборе коэффициентов мера расхождения обозначается

. (3.13)

Для удобства вычислений можно ввести под знак суммы и, учитывая, что , где - число значений в -том интервале, привести формулу (3.13) к виду

. (3.14)

Важным свойством величины является независимость ее распределения от вида выбранного теоретического закона . Распределение зависит только от и параметра , называемого числом «степеней свободы» распределения. Число «степеней свободы» равно числу интервалов минус число независимых условий, наложенных на частоты . Примером такого условия может быть

.

если требуется, чтобы сумма частот была равна единице (это требование накладывается во всех случаях). В случаях, когда требуется совпадение теоретического среднего значения и теоретической дисперсии со статистическим средним значением и дисперсией, накладываются еще два условия

Для распределения составлены таблицы (см. Приложение 1). Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения и числа степеней свободы найти вероятность того, что величина, распределенная по закону превзойдет это значение. Эта вероятность называется уровнем значимости гипотезы и обозначается q.

Пример использования критерия - Пирсона для проверки нормальности распределения случайной погрешности рассматривается в Приложении 3.

Дата добавления: 2015-04-30