КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Собственные векторы и собственные значения матрицы
Краткие теоретические сведения о МАИ
Прежде, чем изложить подробно алгоритм МАИ и описать пример его применения, приведем элементарные сведения о понятиях «собственный вектор» (СВ) матрицы и ее «собственное значение» (СЗ), поскольку МАИ основан на использовании этих понятий и математическим аппарате линейной алгебры.
Определение. Число λ называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой n - мерный нулевой вектор , что выполняется уравнение [10, с. 70]: или . (1)
Множество всех собственных значений матрицы А находится как корни характеристического или векового уравнения
, (2)
где λ – рассматривается в качестве независимых переменных; Е – матричная единица; det(·) – определитель матрицы.
Замечание 1. Если выполнить операцию вычисления определителя det(·) в (2), то получим выражение для характеристического полинома относительно собственных чисел:
. (3)
Решение систем линейных однородных уравнений вида (1) и (2) основано на известной лемме из теории матриц [9, с. 54]: «Для того, чтобы линейная система однородных алгебраических уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно равенство нулю ее определителя».
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . 1) Запишем характеристическое уравнение матрицы . То есть получилось квадратное уравнение (характеристический многочлен) относительно неизвестных значений λ. 2) Решением этого квадратного уравнения будут корни: . 3) Найдем собственные векторы, принадлежащие собственным значениям. Собственный вектор принадлежащий собственному значению , по определению является нулевым решением системы
. (3) Верхний индекс в скобках означает принадлежность к собственному значению , а нижний индекс – это номер простого (не кратного) корня. Поучим: . 4) Проверяем условие цитированной выше леммы:
. Условия выполнены, значит нетривиальное решение (3) существует. Тогда в простейшем случае системы двух уравнений [9, с. 336]: Таким образом, ненулевой собственный вектор, принадлежащий собственному числу , найден: . Аналогично находится второй собственный вектор матрицы А, принадлежащий собственному значению . ; Следовательно, второй собственный вектор, принадлежащий собственному числу , равен .
Замечание. Метод нахождения собственных чисел и собственных векторов из [9, с. 336] неэффективен с точки зрения вычислительной математики при высоком порядке матрицы А (n ~ сотни и тысячи).
В вычислительной математике известны различные вычислительные схемы определения собственных чисел и собственных векторов матрицы, и имеются соответствующие пакеты программ для ЭВМ. Однако до настоящего времени общепринятый стандартный простой метод решения проблемы на собственные значения и собственные векторы матриц большого размера отсутствует. Если под рукой нет подходящей программы, то можно применить один из простых приближенных методов, описанных в [1, с. 32]. В лабораторной работе применен метод под номером 4, использующий среднегеометрическую оценку компонент собственного вектора (см. ниже, пункт 1.2).
Дата добавления: 2015-03-31; Просмотров: 721; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |