Логика и математика

Вопрос

Логика - это наука правильно рассуждать, наука о формах и законах человеческого мышления.

Логика - наука древняя. Её основоположником считают древнегреческого мыслителя Аристотеля, жившего в 384-322 годах до н.э. Именно он подверг анализу человеческое мышление, такие его формы, как понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формальной стороны. Так возникла формальная логика - наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изу­чающая логические операции и правила мышления.

Ко времени зарождения логики математика уже прошла значительный путь развития. В течение многих веков логика помогала математике стать строгой, последовательной наукой. Постепенно взаимная связь между математикой и логикой привела к тому, что логика оказалась под влиянием математики.

После падения античной цивилизации развитие математики, и особенно логики, замедлилось, потому что новые логические идеи нередко вступали в противоречие с формами мышления церкви. Любопытно отметить: пер­вое, что было восстановлено из античной науки, - это именно логика Аристотеля.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам науки нового времени, нетрудно установить, что и в этом чае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античности логические методы. С этого начиналась философия и математика Рене Декарта (1596-1650). Он считал, что человеческий разум может постигнуть истину, если будет исходить из достоверных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях исследований. Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении - логике - руководствоваться общепринятыми в математике принципами.

Основоположником математической логики считают великого немецкого математика и философа Вильгельма Лейбница. Это он в XVII веке пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические. Это он впервые высказал мысль о возмож­ности применения двоичной системы счисления в вычислительной математике.

Но этим идеям Лейбница суждено было получить дальнейшее развитие лишь в середине XIX века в трудах другого великого математика Джорджа Буля, отца писательницы Э.Войнич - автора романа "Овод". Он вывел для логических построений особую алгебру (алгебру логики). В отличие от обычной, в ней символами обозначают не числа, а высказывания.

Главная задача логики состоит в том, чтобы выявить, какие способы рассуждения правильные, а какие нет.

Для иллюстрации сказанного приведем задачу, в которой используется неправильный способ рассуждения.

Трое фермеров, приехав в районный центр, решили сообща пообедать. Когда они закончили с обедом, буфетчица сказала, что с них причитается 30 долларов. Каждый из обедавших достал 10 долларов, и они рассчитались. Когда фермеры были уже у выхода, буфетчица сообразила, что обсчитала их на 5 долларов. Тогда она позвала своего сынишку, который вертелся тут же, и сказала: - Видишь тех трех мужчин? Догони их и верни им эти деньги. - И дала ему три бумажки по 1 доллару и одну двухдолларовую. Смышленый парнишка, наблюдавший, как фермеры расплачивались, быстро смекнул, что они никак не смогут поровну поделить на троих 5 долларов. Он отдал им только три по доллару, а двухдолларовую оставил себе. Фермеры разделили 3 доллара - каждому по доллару - и подсчитали, что обед им обошелся по 9 долларов с брата, а всего, следовательно, они израсходовали 27 долларов. Кроме того, как мы знаем, 2 доллара осталось у мальчика. Всего получается 29 долларов. Но ведь они отдали буфетчице 30 долларов. Куда пропал 1 доллар?

Мы предлагаем читателю самостоятельно разобраться в предложенной задаче. Приведем еще примеры.

Существует предание, что Александрийскую библиотеку сжег калиф Омар. Но прежде чем сжечь ее, он обосновал свое деяние с помощью следующего рассуждения: "Если ваши книги согласны с кораном, то они вредны. Но вредные ими излишние книги следует уничтожить. Значит, ваши книги следует уничтожить".

Рассуждение есть переход от некоторых предложений, утверждений, называемых посылками, к утверждению, которое называется умозаключением. В приведенном примере первые три предложения являются посылками, четвертое - умозаключением.

Допустим, нас не интересует ни то, что в действительности не Омар сжег библиотеку, ни то, что он вообще так не рассуждал, ни истинность или ложность самого по себе заключения. Но зададимся вопросом, правильно ли, независимо от всего этого, само рассуждение. Как будет видно из дальнейшего, такое рассуждение с логической точки зрения совершенно правильно. Другое дело, что не истинны посылки, которые в нем используются. Но в данном случае нас интересует только правильность самого рассуждения, независимо от истинности посылок и заключения.

Возьмем еще пример. Предположим, некто строит следующее рассуждение: "Дикари раскрашивают свое тело. Некоторые современные женщины раскрашивают свое тело. Следовательно, некоторые современные женщины - дикари". Правильно ли это рассуждение?

Нетрудно установить, что данное рассуждение неправильно, несмотря на то, что используемые посылки и сделанное из них заключение можно признать истинными.

Итак, задача логики - описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными.

Дата добавления: 2015-04-24