Функція розподілу випадкової величини

Функцією розподілу випадкової величини Х будемо називати функцію, яка кожному значенню аргументу х ставить у відповідність імовірність того, що випадкова величина набуває значення меншого, ніж х.

. (ІІ.1)

Яких би значень не набувала випадкова величина, її функція розподілу визначається на всій дійсній осі. Функція розподілу випадкової величини є імовірністю і тому вона має такі властивості.

1. Значення функції розподілу змінюються в межах .

2. Функція розподілу монотонно неспадна, тобто . Дійсно .

3. Імовірність попадання значень випадкової величини в інтервал обчислюється за формулою

. (ІІ.2)

4. Оскільки подія є неможливою, а подія — достеменною, то , а .

5. Функція розподілу F є неперервною зліва в кожній точці своєї області визначення, тобто .

Приклад 2. Побудувати функцію розподілу випадкової величини, якою є кількість очок, що випадає при киданні грального кубика.

Розв’язання: Розподіл вказаної випадкової величини має вигляд

хі
рі	^1/6	^1/6	^1/6	^1/6	^1/6	^1/6

Будуємо функцію розподілу цієї величини. Оскільки при киданні грального кубика не може випасти менше ніж одне очко, то для маємо . Для проміжку подія Х < х полягатиме у випаданні одного очка, тому для цього проміжку . Для проміжку подія Х < х полягатиме у випаданні одного очка або двох, тому для цього проміжку . Міркуючи аналогічно отримуємо а її графік:

Приклад 3. Розподіл випадкової величини задано співвідношенням , Визначити константу с, записати функцію розподілу та знайти ймовірність того, що випадкова величина набуває значень менших, ніж 15, але не менших, ніж 3.

Розв’язання: Врахувавши, що достовірна подія, маємо . Отже, . Для маємо , якщо , то . Отже, . Далі .

Приклад 4. Функція розподілу випадкової величини має вигляд . Визначити константи а і b, побудувати графік функції розподілу та знайти ймовірність того, що значення випадкової величини потраплять у проміжок .

Розв’язання: Врахувавши, що , , а , , отримуємо . Розв’язавши останню систему знаходимо , b= 0,5, тобто функція розподілу задається формулою .

Щоб побудувати графік функції розподілу, використаємо пакет Maple. Введемо команду

with(plots): plot(1/Pi*arctan(3*x)+0.5,x=-3..3);

і отримаємо графік функції розподілу (рис.3).

Оскільки для неперервно розподіленої випадкової величини імовірність, що її значення попадає в задану точку, дорівнює нулеві, то .

Дата добавления: 2015-05-23