Теоретичні відомості. Визначення модуля Юнга за прогином стержня

Визначення модуля Юнга за прогином стержня

Мета роботи: вивчення пружних властивостей твердих тіл.

Молекули, з яких складаються всі речовини, являють собою складні системи рухомих електричних зарядів. Основна маса і весь позитивний заряд молекули зосереджені в її атомних ядрах, що мають лінійні розміри порядку . Навколо цих ядер по певнихстійких орбітах рухаються від’ємно заряджені частинки ‑ електрони. Діаметри електронних орбіт порядку , тобто в десятки тисяч раз перевищують діаметри ядер. Атоми й молекули є досить стійкими системами, що різко піддаються деформації. Ця стійкість зумовлена тим, що стани атомів і молекул не можуть змінюватись неперервно, а можуть набувати лише дискретний ряд значень. Перехід атома з одного можливого стану в інший пов’язаний з порівняно великою зміною його енергії.

Молекула в цілому, звичайно, електричнонейтральна, суми додатнихівід’ємних її зарядів рівні між собою. Завдяки такій компенсації зарядів різного знака електричне поле за межами молекули досить швидко зменшується з відстанню. Практично воно дорівнює нулю вжена відстані двох-трьох діаметрів молекули (діаметрів її електронної оболонки).

Тому при зближенні двох молекул, поки відстань між їх центрами велика, порівняно з їх діаметрами , сили взаємодії між молекулами дуже малі (рис.1, а).

При подальшому зближенні, на відстань порядку двох-трьох молекулярних діаметрів починає поступово проявлятися взаємодія електричних зарядів ядер і електронних оболонок молекул. Завдяки притяганню різнойменних й відштовхуванню однойменних зарядів відбудеться незначна деформація обох взаємодіючих молекул, так щомиттєвий розподіл зарядів у молекулі стане приблизно таким, як це показано на рис. 1, б. У результаті між молекулами виникають сили притягання .

У міруподальшого зближення молекул деформація молекул і значення сил притягання будуть зростати. Однак, коли молекули підійдуть щільно одна до одної й будуть дотикатися своїми електронними оболонками, подальше зближення стане неможливим. Між електронними оболонками виникнуть сили відштовхування, що різко зростають в міруподальшого взаємного проникнення оболонок. На таких відстанях молекули будуть відштовхувались, як це зображено на рис. 1, в. Абсолютна величина сил взаємодії суттєво залежатиме від будови розглядуваних конкретних взаємодіючих молекул.

Рис. 1. Взаємодія електричних зарядів ядер і електронних оболонок молекул залежно від відстані між ними.

На рис. 2 зображено наближену залежність молекулярних силвзаємодії від , значення відповідають силам притягання, а значення ‑ силам відштовхування. На деякій, характерній для даної пари молекул відстані притягання й відштовхування зрівноважуються і результативна сила взаємодії обертається в нуль: . Ця відстань відповідає положенню рівноваги, в якому можуть перебувати взаємодіючі молекули за відсутності теплового руху.

При незначній зміні взаємної відстані між молекулами від величини до сили взаємодії будуть здійснювати роботу:

. (1)

Отже, потенціальна енергія взаємодії молекул змінюватиметься на величину , яка дорівнює:

. (2)

Виберемо початок відліку для значень енергії взаємодії при ,коли молекули віддалені одна від одної настільки, що їх взаємодією можна повністю знехтувати. При потенціальна енергія дорівнює

. (3)

За поступового зменшення r молекули зближуються і між ними з'являються сила притягання . Ці сили під час зближення здійснюють додатну роботу ,потенціальна енергія взаємодії згідно з (2) поступово зменшується. При вибраному нами згідно з (3) початку відліку потенціальна енергія буде від’ємною і при досягне свого найнижчого значення . При переході через положення рівноваги іподальшому зближенні молекул між ними виникнутьсили відштовхування. ‑робота, здійснювана проти цих сил, буде від’ємною , і потенціальна енергія взаємодії почне швидко зростати.

Рис. 2. Залежність молекулярних сил взаємодії від відстані між молекулами.

Як видно з рис. 2, крива потенціальної енергії має характерний вигляд "потенціальної ями". Найбільшу глибину ця потенціальна яма має в положенні рівноваги при :

, . (4)

Отже, стійко положення взаємодіючихмолекул відповідає:

1) найменшому значенню потенціальної енергії взаємодії молекул .Це загальне положення: система є стійкою, якщо вона має мінімальний запас енергії;

2) рівності нулю сил взаємодії між молекулами при ,зменшення призводить до появи сил відштовхування ( згідно з (3) зростає, оскільки , ), збільшення призводить до появи силпритягання ( також зростає,оскільки при ).

За малих відносних деформацій утой чи іншийбік криволінійну залежністьвзаємодії між сусідніми атомами можна практично замінити прямою лінією. Нахил цієї дотичної до кривої:

, (5)

залежить від конкретного вигляду закону взаємодії атомів даної речовини. Отже, за малих зміщень атома з положення рівноваги на нього буде діяти сила

, (6)

під дією якої він повинен буде повернутись у положення рівноваги.

Рис. 3. Залежність сили взаємодії між атомами.

Розглянемо стержень довжиною і площею поперечного перерізу . Умовно розділимо його на ряд паралельних ланцюжківатомів (рис.4).

Рис. 4. Модель стержня довжиною .

Число ланцюжків, що припадає на одиницю поперечного перерізу, позначимо через . При діаметрах атомів площа, яку займав один атом у перерізі , . Якщо стержень рівномірно розтягнути на довжину , то відстаньміж кожною парою сусідніх атомів видовжиться на пропорційну величину . Вздовж кожного ланцюжка з’являться перешкоджаючі цьому сили, й по всьому перерізу виникне пружна сила

. (7)

Ця сила намагається повернути стержень у вихідне положення. Для утримання стержня в розтягнутому стані до нього слід прикласти точно таку ж силу . Коефіцієнт пропорційності формули (7) називається модулем Юнга, а сама формула (7) дає відомий закон Гука:

, (8)

де . (9)

Відносне видовження прямо пропорційне прикладеній механічній напрузі.

З формули (8, 9) модуль Юнга

. (10)

Якщо видовження , то

, (11)

модуль Юнга являє собою таку силу, віднесену до одиниці площі (нормальну напругу), яка змінює початкову довжину тіла вдвоє, якщо би при цьому здійснювався закон Гука. Слід підкреслити, що лише гуму можна розтягнути у два рази. Для всіх інших тіл, перш ніж їх довжина збільшиться вдвоє, буде перейдена межа пружності, і вони розірвуться.

Модуль Юнга має велике значення в техніці, тому що дає змогу порівнювати пружні властивості різних тіл. Він виражається , тобто силу визначають у ньютонах, а площу поперечного перерізу у квадратних метрах. (У літературі трапляються й інші одиниці ‑ , ).

Опис приладу

Якщо ми маємо прямокутний стержень шириною і товщиною , який підтримується двома загостреними опорами, і якщо посередині нього діє сила , то, як показують теоретичні розрахунки, модуль Юнга визначається з такої формули:

, (12)

,

де ‑ відстань між опорами, які підтримують стержень, ‑ величина стрілки прогину, тобто та відстань, на яку опуститься точка,прикладена сили, що діє на середину стержня.

Прилад для визначення модуля Юнга за прогином стержня (рис. 5) складається з міцної станини, по якій можуть переміщатися дві масивні опори (колонки).

Рис. 5. Схема установки для вимірювання модуля Юнга за прогином стержня.

Зверху на цих колонках укріплені стальні накладки у вигляді призм. На ребра цих призм і кладуть досліджуваний стержень.

(Уцій роботі використовується спосіб, коли стержень вільно лежить на гострих опорах). Важки поміщають на шальку, скріплену зобоймою , яка своїм гострим краєм натискує на стержень у його середній частині.

Дата добавления: 2015-05-24