Теорема Котельникова

В системах автоматизации самой распространенной операцией является дискретизация сигнала по времени. Выбор частоты дискретизации опирается на теорему Котельникова, которая распространяется на любые сигналы с ограниченным спектром. Если спектр сигнала ограничен частотой , то частота отсчетов должна быть в 2 раза выше, чтобы сигнал можно было восстановить без потери информации. Иначе говоря, если самая высокочастотная гармоника в спектре сигнала имеет период T, то на один период гармоники должно приходиться 2 отсчета при дискретизации сигнала. При этом непрерывный сигнал преобразуется в импульсный без потери информации.

Отметим несколько особенностей применения теоремы.

Во первых, в теореме Котельникова предполагается, что сигнал будет восстановлен с помощью замены каждого отсчета функцией , т.е.

,

(4.61)

где - интервал между отсчетами, - номер отсчета, - время. Однако на практике такую функцию реализовать невозможно, поскольку ее спектральная характеристика является идеально прямоугольной и для ее получения требуется фильтр с идеально прямоугольной АЧХ. Поэтому восстановление сигнала после дискретизации выполняют с помощью фильтров невысоких порядков.

Во-вторых, сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную протяженность во времени, а реальные сигналы, ограниченные во времени, имеют неограниченный частотный спектр, поэтому разложение их в ряд Котельникова требует пренебрежения частью спектра, лежащего выше частоты .

В-третьих, теорема Котельникова предполагает, что при дискретизации сигнала использованы импульсы бесконечно малой длительности.

Указанные факторы являются причиной того, что на практике частоту дискретизации выбирают в несколько раз выше, чем требуется в соответствии теоремой Котельникова.

Теорема Котельникова позволяет оценить предельную пропускную способность измерительного канала с известной полосой пропускания . Если средство измерений имеет погрешность , то количество различимых уровней при измерении величины будет равно , а количество информации с мерой Хартли, полученное при однократном измерении, будет равно . Если систематическая составляющая погрешности исключена и преобладает случайная составляющая с дисперсией , то количество различимых уровней следует искать как отношение мощностей, т.е. количество информации будет равно , где - мощность сигнала, - мощность погрешности. Поскольку в соответствии с теоремой Котельникова сигнал со спектром шириной должен быть дискретизирован с частотой 2 , чтобы сохранить всю содержащуюся в нем информацию, то для сигнала длительностью потребуется отсчетов. Следовательно, измерительный канал с полосой позволяет передать отсчетов, каждый из которых содержит бит информации, т.е. пропускная способность канала (количество передаваемой информации в единицу времени) составит , бит/с. Величина называется базой сигнала, а - объемом сигнала, , -динамическим диапазоном.

Дата добавления: 2015-05-10