Двумерный случай

Обоснование

Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.

Линии уровня и кривая .

Пусть требуется найти экстремум некоторой функции двух переменных при условии, задаваемом уравнением . Мы будем считать, что все функции непрерывно дифференцируемы, и данное уравнение задает гладкую кривую S на плоскости . Тогда задача сводится к нахождению экстремума функции f на кривой S. Будем также считать, что S не проходит через точки, в которых градиент f обращается в 0.

Нарисуем на плоскости линии уровня функции f (то есть кривые ). Из геометрических соображений видно, что экстремумом функции f на кривой S могут быть только точки, в которых касательные к S и соответствующей линии уровня совпадают. Действительно, если кривая S пересекает линию уровня f в точке трансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то двигаясь по кривой S из точки мы можем попасть как на линии уровня, соответствующие большему значению f, так и меньшему. Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.

Тем самым, необходимым условием экстремума в нашем случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций f и ψ в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:

где λ — некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.

Рассмотрим теперь функцию Лагранжа, зависящую от и λ:

Необходимым условием ее экстремума является равенство нулю градиента . В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде

Мы получили систему, первые два уравнения которой эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье — уравнению . Из нее можно найти . При этом , поскольку в противном случае градиент функции f обращается в нуль в точке , что противоречит нашим предположениям. Следует заметить, что найденные таким образом точки могут и не являться искомыми точками условного экстремума — рассмотренное условие носит необходимый, но не достаточный характер. Нахождение условного экстремума с помощью вспомогательной функции L и составляет основу метода множителей Лагранжа, примененного здесь для простейшего случая двух переменных. Оказывается, вышеприведенные рассуждения обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия.

78. Общая задача линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи.

Линейное программирование – это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать

Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию Z = С ₁ х ₁ +С ₂ х ₂ +… +С _N x _N

при линейных ограничениях

a ₁₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _1N Х _N = b ₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _2N Х _N = b ₂

...........

a _М1 x ₁ + a _М2 x ₂ + … + a _МN Х _N = b _М

Так как Z – линейная функция, то = С _j (j = 1, 2, …, n), то все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные являются константами

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные

1. Общая задача линейного программирования

1. Формулировка задачи.

Даны линейная функция

(1.1) Z = С ₁ х ₁ +С ₂ х ₂ +… +С _N x _N

и система линейных ограничений

a ₁₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _1N Х _N = b ₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _2N Х _N = b ₂

...........

a _i1 x ₁ + a _i2 x ₂ + … + a _iN Х _N = b _i (1.2)

...........

a _M1 x ₁ + a _M2 x ₂ + … + a _MN Х _N = b _M

(1.3) x _j 0 (j = 1, 2, …,n)

где а _ij , Ь _j и С _j - заданные постоянные величины

Найти такие неотрицательные значения х ₁ , х ₂ , …, х _n , которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1)минимальное значение

Дата добавления: 2015-05-26