![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Умовний екстремум 3 страница
2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t. 3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t. 4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t. 5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t. В інтегралах ò sin2nx×cos2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня 21.Визначений інтеграл як границя інтегральної суми Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при lіà0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dхі, ні від вибору точок xі, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається: За означенням, визначений інтеграл Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною. 22. Формула Ньютона-Лейбніца Якщо ф-ія F(x) є якою-небудь первісною від перер. ф. f(x), тобто F’(x)=f(x) для всіх x з проміжком [a;b] то справедлива формула Ньютона: 23.Геометричний зміст визначеного інтегралу Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. 24.Методи обчислення визначеного інтегралу 1)Підстановка у визначеному інтегралі. Якщо: f(x) – неперервна для xÎ [a;b], а ф. x=j(t)та її похідна x’=j’(t)неперер. на відрізку [a;b] при чому 2) Інтегрування частинам у визначеному інтегралі. Якщо ф-ії U=U(x) та V=V(x) мають неперервні похідні для xÎ[a;b], то
25. Властивості визначеного інтеграла 1) Якщо f(x) ³ 0 і інтегрована для xÎ[a,b], b>a, то 2) Якщо f(x), g(x) – інтегровані та f(x) 3) Якщо f(x) інтегровані на [a;b] такому, що (a<b) то: 4) Якщо f(x) – інтегрована та m£f(x)£M, для xÎ[a;b], b>a, то 5) Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ[a;b], b>a, то знайдеться така точка CÎ [a;b], що: 6)Якщо ф. 26.. Властивості невизначеного інтеграла a)Властивості, що випливають з означ.: 1) похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії: 2) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу. 3) b)Властивості, що відображають основні правила інтегрування: 4) Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла. 5) Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо 27.Невласні інтеграли з нескінченими множинами інтгруання (першого роду) Нехай ф. f(x) визнач. На пром.. [a; У цьому випадку інтегр. наз. збіжним, а підінтегр. ф. f(x) інтегрованою на пром. [a; Аналогічно визнач. Невласний інтеграл на пром. (-
28.Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду 1)Якщо на [a; 2)Якщо існує границя 3)якщо інтегр. 29.Невласні інтеграли від необмежених функцій (другого роду)
Нехай ф. f(x) визнач. на пром. [a;b), т х=b наз. особливою т. ф. f(x), якщо f(x) Нехай ф. f(x) інтегрована на відрізку від [a;b- У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або збігається, якщо границя нескінчена або не існує то інтеграл також наз. Невласним, але розбіжним. Анологічно, якщо x=a особлива т., то 30.Наближене обчислення визначених інтегралів Нехай від заданої та непер. на [a;b] ф-ції у=f(x) треба обч.
31. Означення числового ряду. Сума числового ряду Рядом наз. вираз Якщо всі члени ряду (1) задані числами то цей рчд наз. числовим. Приклад числових рядів: 1)геометричний 2)гармонічний 3)узагальнений гармонічний Суму 32.Властивості рядів. Збіжність числового ряду Теорема: Якщо ряд Властивості рядів: 1)числовий ряд 2)якщо р.(1) збігається, то загал. член 3)р. (1) збігається т.і т.т., коли збігається його n-ий залишок 4)для двох збіжних рядів 5)у збіжному ряді ожна довільно будувати(брати у дужки,не переставляючи местами на збіжність та на його суму це не впливає). 33.Умови збіжності додатних рядів Означення: знакододатний ряд – ряд вигляду U1+U2+…+Un+…, всі члени якого є додатними(невідємними) Додатній ряд 1) Ознака порівняння рядів. Існує збіжний(розбіжний)додат.р. або 2) Ознака Даламбера: Якщо для знакододатного ряду існує
3) Радикальна ознака Коші.
4) Інтегральна ознака Коші. Беремо ò від 34. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди це ряди вигляду: Ознака Лейбніца: Знакозмінний ряд є збіжним, коли 1) 2) 35.Абсолютно та умовно збіжні ряди Числовий ряд Р. (1) наз. умовно збіжним,якщо він є збіжним, проте не абсолютно. В абсолютно збіжних рядах можна переставляти місцями члени, що не впливає на його суму. Абсолютно збіжні ряди 36. Функціональні ряди. Основні поняття Ряд Множину X значень аргументу х для яких ф.р.(1) збігається наз. обл. збіжності цього ряду. Ф.р. наз рівномірно збіжним на множен. Х, якщо для як завгодного малого Ознака Веєрштраса:
37. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності степеневого ряду Степеневі ряди. Означення: Функціональний ряд вигляду a0+a1x+a2x2+…+anxn+… називається степеневим рядом, його загальний член Un(x)=anxn, а числа а0,а1,а2,...,аn,... – називають коефіцієнтами степеневого ряду. Степеневий ряд можна записати як: Степеневий ряд може мати вигляд: a0+a1(x-с)+a2(x-с)2+…+an(x-с)n+… Такий ряд за допомогою заміни х-с=у зводиться до звичайного степеневого ряду. Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд: 1) якщо при х=х0, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність |x|<|x0|; 2) якщо ряд розбігається при х=х1, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівніст |x|>|x1|. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Як наслідок із теореми Абеля для Степ. Р. існує інтервал збіжності з центром в точці х0. Означення: Інтервалом збіжності Степ. Ряду називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок |x|>R ряд є розбіжним, при цьому число R>0 називається радіусом збіжності ряду.
Зауваження: На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x=-R, x=R ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального дослілження в кожному випадку. 38.Теорема про рівномірну збіжність степеневого ряду Степеневий ряд 1) 2) При цьому після інтегрування або диференціювання одержані ряди мають той самий радіус збіжності. 39.Розклад функції у степеневий ряд. Нехай деяка ф. f(x) визначена і n-раз диференційована в околі т. x=0, також ця ф. має бути представлена степеневим рядом тобто розкладена в степеневий ряд: Виразимо коефіцієнт степеневий ряд через ф. f(x). Для цього скористаємось теоремою і знайдемо похідні ф f(x) Враховуючи що в одержаних рівняннях x=0,маємо Тоді Підставляючи одержані коефіцієнти одержимо ряд:
40.Розклад функції у ряд Маклорена. Нехай деяка ф. f(x) визначена і n-раз диференційована в околі т. x=0, також ця ф. має бути представлена степеневим рядом тобто розкладена в степеневий ряд: Виразимо коефіцієнт степеневий ряд через ф. f(x). Для цього скористаємось теоремою і знайдемо похідні ф f(x) Враховуючи що в одержаних рівняннях x=0,маємо Тоді Підставляючи одержані коефіцієнти одержимо ряд:
41. Розклад ф-ції у ряд Тейлора Рядом Тейлора функції f (x) називається ряд вигляду:
Тут a – центр розвинення; f (n)(a) – значення n -ї похідної в точці x = a;
42.Розклад функції у ряд Фур’є Ф. f(x) наз. Такою, що відповідає умовам Діріхле на пром.[a;b], якщо вона на цьому пром..: 1)моє скінчене число розривів першого роду 2)має скінчене число екстремумів 3) Ф f(x), що відповідає умовам Діріхле [-П;П], може бути визначена в усіх точках цього проміжку рядом Фур’є
У випадку парної ф f(x) коеф.
У випадку непарної ф f(x) коеф.
43.Лінії рівня функції кількох змінних. Означення. Навести приклад Лінією рівня наз. множина всіх точок площини, в яких ф-ія z=f(x;y) набуває однакових значень. Рівняння ліній рівня записують у вигляді f(x;y)=C. 44.Використання універсальної підстановки при інтегруванні тригонометричних виразів Інтеграл типу При цьому На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують,якщо sin x та cos x входять під інтегр. Вираз у невеликому стпені, інакше розрахунки бдуть дуже складні. 45.Метод невизначених коефіцієнтів Нехай дріб
Де 46.Поняття диференціального рівняння та його розвязоку Диф. Рівнянням називається рівняння, яке містить шукану похідну ф-ції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференційного рівняння.Найб. порядок пох. наз. порядком диф. р-ня. Звич. ДР наз. нетотож. співвіднош. між шуканою ф-цією однієї змінної самою не залеж. змінною та пох. шук. ф-ції певних порядків. Розв’язком ДР y’=f(x;y) наз. ф-ція у=j(х), яка при підстановці у ДР перетвор. його у тотож. Розвязок, що містить довільні пост. наз загальним роз. ДР. 47.Теорма Коші про інтегрування та єдиність розв’зку рівняння першого порядку Інтегральна крива це графік ф., що є розв’язком звичайного піддіференціального рів. Диф. рів. Не розв’язане відносно похідної має вигляд: Ф розв’язоно відносно похідної: Задачею Коші для рів. (1)або(2) наз. задачею відшукання функції y=y(x), xє(a,b), яка є розв’язком заданого рів. і задовольняє початкову умову задачі.
Загал. розв. диф. рів. (1)або(2) це така сукупність функцій Якщо заг. розв. Якщо ф. f(x,y) має в обл. Dнеперервні частинні похідні, то через кожну точку цієї обл. проходить єдина інтегральна крива диф.рів y’=f(x,y) 48.Рівняння з відокремленими змінними Відокремлюваними диф. рів. з відокр. змінними наз.рів. виду Де всі вказані ф. неперервні на певних проміжках. Такі рів. розв. відокремленням змінних:
49.Однорідні диференціальні рівняння Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді:
Ці рів. можна записати у вигляді: Ці рів. Можна звести до диф.рів. х відокремлюваними зміними за допомогою підстановки
50.Лінійні диференціальні рівняння Лінійним диф.рів. I порядку наз.рів. вигляду Рів. Розв’язується методом підстановки y=UV, де U та V невідомі ф. тоді ф. V вибираємо таку, що Тоді ф. U визнач. із рів. 51. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами це рівняння виду f(x)- задана ф. Розглянемо випадок коли f(x)=0, то лін. диф. рів. наз. однорідним або без правої частини. Такі рівняння розв’язують за правилом:
Дата добавления: 2015-05-26; Просмотров: 323; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |