КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Простейшие свойства линейного преобразования
1. Линейное преобразование A пространства V переводит всякую линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию A A A их образов с теми же коэффициентами из поля Р. Доказательство. Сперва убедимся в справедливости утверждения для случая k=2: A A A A A Теперь, предполагая, что утверждение доказано для k-1, где , докажем это для k векторов. ■. 2. Если A — линейное преобразование пространства V, то , , т. е. при линейном преобразовании A образом нулевою вектора является нулевой вектор, а образом противоположного вектора –х является вектор – противоположный образу . Доказательство. Так как A - линейное преобразование пространства V, то , откуда . Точно так же, рассматривая равенство , получаем: , но . Следовательно, ■. 3. Совокупность L всех образов векторов х линейного пространства V, получающихся при данном линейном преобразовании, есть некоторое подпространство. Доказательство. Возьмем из L два произвольных вектора и и возьмем произвольное число α из поля Р. Достаточно убедиться, что и принадлежат L. Т.к. и являются образами некоторых векторов и , то и ,т.е. и представляют собой образы векторов и , в силу чего и . принадлежат L ■. До сих пор линейное пространство V предполагалось как конечномерным, так и бесконечномерным. Ограничиваясь теперь n -мерным линейным пространством V n покажем, что линейное преобразование такого пространства тесно связано с квадратными матрицами n -го порядка и с линейными преобразованиями n неизвестных. Пусть некоторый базис пространства V n и A – линейное преобразование V n. Образы A ( ) векторов базиса, очевидно, должны выражаться через базис: i = 1, 2, …, п, где - число из поля Р. Составим квадратную матрицу n -го порядка:
столбцы которой являются координатными столбцами соответствующих образов векторов базиса. Эту матрицу А мы будем называть матрицей линейного преобразования A в данном базисе и будем также говорить, что линейное преобразование A в данном базисе задается матрицей А. Таким образом, при данном базисе каждому линейному преобразованию A пространства V n соответствует однозначно определенная квадратная матрица А порядка п. Покажем, что это соответствие является не только однозначным, но и взаимно однозначным. Предварительно докажем следующую теорему: Теорема 1. Для произвольно заданной системы п векторов существует одно и только одно линейное преобразование A пространства V n, переводящее векторы базиса соответственно в векторы . Доказательство. Возьмем произвольный вектор поставим ему в соответствие вектор обозначим это соответствие через A и покажем, что оно является линейным преобразованием пространства V n. Прежде всего очевидно, что A есть преобразование V n. Остается доказать, что преобразование A линейно. Умножим вектор х на произвольное число α из поля P . Согласно введенному соответствию имеем . Возьмем еще один вектор . Образом этого вектора является, очевидно, . Составим сумму . Отсюда получается, что
. Итак, A — линейное преобразование пространства V n. Покажем, что . Обратимся к равенству = . и положим при , тогда получим, что A , i = 1, 2, …, п. Для завершения доказательства теоремы остается убедиться в единственности линейного преобразования A, переводящего каждый вектор базиса в соответствующий вектор . Пусть имеется еще одно линейное преобразование A’ пространства V n, переводящее вектор в : = . Тогда для произвольного вектора х получаем, пользуясь свойством 1 линейного преобразования: , для любого вектора х, аэто означает, что линейные преобразования A и A’ равны ■.
Теорема 2. Д ля всякой квадратной матрицы порядка п с элементами из поля Р существует одно и только одно такое линейное преобразование A пространства V n, которое в данном базисе задается этой матрицей А. Доказательство. Составим систему векторов , координатные столбцы которых являются соответствующими столбцами матрицы А: , где , . На основании теоремы 1 мы можем построить линейное преобразование A пространства V n, переводящее в : , , и такое преобразование будет единственным. Очевидно, что это линейное преобразование A будет задаваться матрицей А в базисе ■. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие (при заданном базисе) между множеством Ω всех линейных преобразований пространства V n и множеством М всех квадратных матриц n -го порядка с элементами из поля Р. Пример. Рассмотрим двумерное пространство V2 геометрических векторов на плоскости, исходящих из начала прямоугольной системы XOY. В качестве базиса возьмем векторы и с длиною, равной единице, лежащие соответственно на осях ОХ и OY и направленные в положительную сторону. Поставим в соответствие каждому вектору х его проекцию у на прямую, проходящую через начало О и образующую с осью ОХ угол в 60°. По свойствам проекции это преобразование является линейным. Найдем матрицу этого преобразования A в базисе и . Пользуясь некоторыми очевидными геометрическими соображениями, получаем, что конец вектора имеет своими координатами . Аналогичным образом находим, что конец вектора имеет своими координатами . Следовательно, , откуда A в базисе задается матрицей . Посмотрим, как выражаются координаты образа через координаты прообраза х при линейном преобразовании A пространства V n. Для этой цели введем следующее обозначение. Пусть некоторая прямоугольная (в частности, квадратная) матрица, элементы которой уже не числа, а векторы пространства V n. Мы будем через A (B) обозначать матрицу элементы которой являются образами соответствующих элементов матрицы В при линейном преобразовании . Докажем следующую лемму.
Лемма. Если числовая матрица, состоящая из т строк, а В — вышеупомянутая «векторная» матрица из s строк и т столбцов, то где — линейное преобразование пространства V n.
Доказательство. Пользуясь правилом перемножения матриц, получаем, что Отсюда . что и требовалось доказать ■. В силу самого определения матрицы А линейного преобразования мы можем написать, что A (1) где — базис V n. Возьмем теперь произвольный вектор . Тогда для его образа A (х) получается на основании леммы, что или, пользуясь равенством (1) . С другой стороны, обозначая координаты образа A (х) через имеем . Откуда следует, что , (2) т. е. координатный столбец образа , равен произведению матрицы А линейного преобразования A в данном базисе на координатный столбец прообраза х. Из равенства (2) получается, что , , т. е. линейное преобразование A пространства V n вызывает линейное преобразование координат произвольного вектора x в координаты его образа , причем матрицей этого линейного преобразования координат является А. Вообще говоря, при переходе к другому базису матрица линейного преобразования пространства V n изменяется. Найдем, по какому закону изменяется при этом матрица линейного преобразования. Пусть и — два каких-нибудь базиса пространства V n, — матрица перехода от первого базиса ко второму, – матрица линейного преобразования A пространства V n в первом базисе и — матрица того же линейного преобразования A в во втором базисе. Тогда имеют место следующие равенства: (3) A (4) A (5) Подставляя в обе части равенства (5) выражение из равенства (3), получаем: A или, пользуясь доказанной выше леммой: A [ . Умножим обе части последнего равенства справа на обратную матрицу :
Дата добавления: 2015-05-29; Просмотров: 1984; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |