Ответ. 0

Задача 18. В атомной физике изучается формула Релея —Джинса, дающая зависимость распределения энергии излучения от частоты:

u = А — . Считая малой величиной, упростить формулу способом линеаризации, считая d постоянной величиной.

Решение. Если v мало, то = 1, т.е. ~ или 1 + , тогда u A .

Задача 19. Имеется с грамм-молекул активного вещества. Предполагая, что в единицу времени вступает в реакцию р% этого вещества, узнать, какое количество грамм-молекул не вступит в реакцию по истечении времени t.

Решение. Через единицу времени вступают в реакцию 0,01рс грамм-молекул; остаются с (1 — ). Через 2 единицы времени не вступило в реакцию с (1 — ) . Через t единиц времени количество грамм-молекул с (1 — ) . Для лучшего приближения к действительности единицу времени разобьем на n более мелких частей. Тогда вещества, не вступившего в реакцию, будет с (1 — ) , или, полагая = k, получим

(1 – k) 1 - kt = 1 – kt/n, тогда вещества, не вступившего в реакцию, будет с (1 — kt/n) .

Истинное количество остающегося вещества

с = = c e .

Задача 20. Упростить барометрическую формулу

h = 800 (1 + 0,004t) n , принимая = ,

где 0 x 1.

Ответ. h = .

Задача 21. В топографии возникает необходимость найти отношение стрелы f = DB (высоты сегмента) дуги ABC окружности радиуса r к стреле f = D B половины АВ В этой дуги, если центральный угол АОВ мал. Найти это отношение.

Указание. Построить центральные углы дуг и использовать принцип эквивалентности бесконечно малых.

Ответ. 4.

Задача 22. «В педагогическом эксперименте сравниваются результаты по двум различным методикам обуче­ния. Материал темы излагается в двух группах, где применялись единые тестовые задания. В каче­стве переменной выступает безразмерная величина х = t/Т (0 <t < Т), где T - общее количество часов для изучения темы.

Средние коэффициенты усвоения темы, в зави­симости от степени «погружения» в теоретичес­кий материал, для каждой группы выражаются функциями .

Как выяснить эффективность предложенных методик?»

Этап анализа позволяет сделать вывод о том, что для данных зависимостей требуется срав­нить значения Р (1) и Р (1), которые непосред­ственно из формул определить нельзя.

На этапе классификации выясняется, что каж­дая функция является комбинацией конечного числа элементарных, поэтому для 0 < х < 1 функ­ции непрерывные.

Этап расчленения целого на части дает возмож­ность выявить, что для установления результата к концу обучения следует найти пределы указан­ных функций при х 1, сравнив значения между собой. Надо сказать, что понятие предела, слож­ное по своей природе, приобретает здесь вполне конкретные очертания.

На этапе установления и определения последо­вательностей возникает проблема вычисления предела сложной функции. В первом случае аргумент является бесконечно большой величи­ной, а во втором — представляет собой «неопре­деленность вида 0/0 «.

Использование теоремы о предельном пере­ходе под знаком непрерывной функции завер­шается на этапе определения взаимосвязей.

На этапе синтеза сравниваются два предель­ных значения Р (1) = 1/2, Р (1) = Ln 2 и делаются выводы.

Задача 23. Задача предложена в учебнике Б.В.Гнеденко и отме­чено, что ее сюжет заимствован из звездной астрономии. "В сфере радиу­са R случайно и независимо друг от друга разбросано n точек. Чему равна вероятность того, что расстояние от центра сферы до ближайшей точки бу­дет не менее r, если r < R?" Решая эту задачу, студенты получают ответ р = 1-(1 - ) . Можно предложить выяснить, к чему будет стремиться полученная вероятность (и объяснить полученный ответ) при следующих условиях:

1) n, r фиксированы, R ;

2) n, R фиксированы, r R;

3) n, R фиксированы, r 0;

4) n, R фиксированы, r ;

5) n, R , причем .

Условия, сформулированные в пункте 5, предложены в учебнике, причем отмечено, что в звездной астрономии в окрестности Солнца 0,0063, если R измерено в парсеках.

24. В расчетной практике по абсорбции, дистилляции, экстракции и выщелачиванию встречается функция f(х) = .

Найти предел этой функции при х 1.

ХИМИЧЕСКИЕ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

Раздел 1. Введение в анализ

Дата добавления: 2015-06-04