С динамической моделью Кейнса

Введение мультипликатора в контур обратной связи

С обратной связью

Передаточная функция замкнутого контура

Передаточная функция параллельного соединения

Из рис. 1.12 видим, что

. (1.3.2)

Таким образом, передаточная функция параллельно соединенных элементов с суммирующим звеном равна сумме (разности) передаточ­ных функций элементов.

Из рис. 1.13 видно, что

,

поэтому

.

Отсюда

. (1.3.3)

Напомним, что динамическая модель Кейнса имеет вид¹:

, (1.3.4)

¹ Выходная переменная модели обозначена малой буквой у, поскольку большая буква Yпредназначена для образа.

где у — ВВП;

— фиксированная часть фонда потребления;

I — инвестиции;

c — предельная склонность к потреблению(0 < с < 1);

1 - с — предельная склонность к накоплению.

Разделив левую и правую части уравнения (1.3.4) на (1 - с), по­лучим:

, (1.3.5)

где — постоянная времени инерционного звена, обратно

пропорциональная склонности к накоплению;

— установившееся значение ВВП для данного объема

инвестиций I.

Рассмотрим поведение экономики в форме инерционного звена (1.3.5), которая в начальный момент t =0 находилась в состоянии равновесия , после чего инвестиции увеличились с I₀ до . Тогда правую часть (1.3.5) можно предста­вить в виде двух слагаемых:

, .

В свою очередь, решение уравнения (1.3.5) можно разложить на две соответствующие части:

,

где η(t) — переменная часть переходного процесса y(t).

Переменная η(t) удовлетворяет уравнению

, η(0)=0. (1.3.6)

Его решение было найдено в § 1.2:

,

т.е.

.

Поэтому по завершении переходного процесса экономика дей­ствительноперейдет в состояние у_Е:

.

Исследуем теперь, как изменится поведение экономики при ее включении в контур обратной связи с мультипликатором.

Контур обратной связи, образованный из модели Кейнса и мультипликатора с коэффициентом усиления α > 0, показан на рис. 1.14. Если выход мультипликатора добавляется к входному воздействию, то имеет место положительная обратная связь, если вычитается — отрицательная.

Рис. 1. 14. Мультипликатор в контуре обратной связи с динамической моделью Кейнса

Используя выражение (1.3.3), находим передаточную функция контура с обратной связью:

(1.3.7)

Знак «-» при а в знаменателе (1.3.7) соответствует положитель­ной обратной связи, знак «+» — отрицательной обратной связи.

Поскольку образ входа

,

то можно определить образ выхода с помощью передаточной функции

.

По табл. 1.1 находим прообраз:

, , (1.3.8)

откуда

. (1.3.9)

Следует заметить, что те же самые результаты можно получить, погрузив мультипликатор внутрь модели Кейнса. В самом деле, из рис. 1.14 видно, что входом в инерционное звено служит , т.е. сумма или разность входа в систему () и выхода из нее, про­пущенного через мультипликатор (). Поэтому приращение ВВП удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

, η (0)=0,

или

, η (0)=0,

а решение данного уравнения как раз и имеет вид (1.3.8).

После завершения переходного процесса решение (1.3.9) принимает вид (стационарное решение):

.

Значения ВВП, инвестиций и потребления в установившемся ре­жиме при первоначальных инвестициях I₀, инвестициях I=I₀+ΔI, а также при введении положительной и отрицательной обратных свя­зей приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Значения ВВП, инвестиций и потребления

Показатель	Начальное значение показателя	Установившееся значение показателя
без введения обратной связи	при положительной обратной связи	при отрицательной обратной связи
ВВП
Инвестиции
Потребление

Таким образом, введение мультипликатора (0< α <1) в контур положительной обратной связи с моделью Кейнса приводит к более высоким приростам ВВП, инвестиций и потребления, однако при этом переходный процесс имеет более длительный характер по сравнению с процессом при отсутствии обратной связи, поскольку

.

Напротив, при введении отрицательной обратной связи прирос­ты ВВП, инвестиций и потребления ниже, однако переходный про­цесс протекает быстрее, поскольку при α > 0

.

Дата добавления: 2015-06-04