Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса

Критерій полюса

Нехай аналітична в .

Теорема. Для того, щоб було полюсом функції необхідно і достатньо, щоб

Доведення теореми див. [2, с. 293], [1, с. 114].

Зауваження: Якщо - полюс порядку m функції , то її можна представити у вигляді , де і аналітична в колі

Приклад 1. , де – полюси першого порядку, – полюс другого порядку.

Приклад 2. . Знайти полюса.

Розв’язання: , т. я. , а . Таким чином, , де в точці - аналітична, отже - полюс другого порядку.

Нехай - істотна особлива точка функції аналітичної в області .

Теорема (Сохоцького-Вейєрштрасса). Яке б не було комплексне число W (скінчене або нескінчене), існує така послідовність , що

.

Доведення теореми див.[2, с.294], [1, с.115].

Приклад. . Знайти особливі точки.

Розв’язання: - ізольована особлива точка, так як в інших z - аналітична.

, тобто в розкладі в ряд Лорана нескінченно багато від’ємних степеней. Отже, - істотно особлива точка.

Вправи до пунктів 24, 25, 26.

1. Довести, що - особлива точка, яка усувається.

1)

2)

2. Довести, що - полюс.

1)

2)

3. Довести, що - істотно особлива точка.

4. Знайти особливі точки.

Дата добавления: 2015-06-04