Формула Пуассона для маловероятных событий

Если вероятность наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний , но при небольшом значении произведения получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.

Теорема 3.3. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний достаточно велико, но значение произведения остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит раз,

Для упрощения расчетов с применением формулы Пуассона составлена таблица значений функции Пуассона (см. прил. 3).

Пример 6. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Решение. Здесь . Все три числа удовлетворяют требованиям теоремы 3.3, поэтому для нахождения вероятности искомого события применяем формулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона (прил. 3) при получаем .

Найдем вероятность того же события по формуле Лапласа. Для этого сначала вычисляем значение , соответствующее :

Поэтому согласно формуле Лапласа искомая вероятность

а согласно формуле Бернулли точное ее значение

Таким образом, относительная ошибка вычисления вероятностей по приближенной формуле Лапласа составляет

, или

а по формуле Пуассона —

, или

т. е. во много раз меньше.

Дата добавления: 2015-07-02