Матрица и ее ранг

Определение 1. Прямоугольной -матрицей над полем называется мерный вектор над полем , записанный виде прямоугольной таблицы из строк и столбцов.

Числа , где , называется элементами матрицы . Если то матрица называется квадратной матрицей порядка

Определение 2. Транспонированием -матрицы называют переход к - матрице , которая получается заменой строк матрицы столбцами в том же порядке следования. Матрицу называют транспонированной по отношению к .

Например, если , то .

Отметим некоторые очевидные свойства операции транспонирования, необходимые для дальнейшего. Для любых -матриц , и числа из поля имеют место свойства:

. ;

. .

Учитывая эти свойства, с помощью математической индукции можно доказать следующее свойство, которое имеет место для любого натурального числа , для любых матриц и чисел .

. .

Каждый столбец матрицы (если его транспонировать) можно рассматривать как -мерный вектор , а каждую строку матрицы – как -мерный вектор , .

Из определения 1 непосредственно следует, что две -матрицы равны тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой и обозначается буквой . В дальнейшем будим предполагать, что матрица ненулевая.

Определение 2. Максимальное число линейно независимых векторов-столбцов называется столбцовым рангом матрицы , максимальное число линейно независимых векторов-строк называется строчечным рангом матрицы .

Другими словами, столбцовый ранг матрицы – это ранг системы векторов-столбцов, а строчечный ранг – это ранг системы векторов-строк.

Определение 3. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее.

. Перестановка местами двух строк.

. Умножение строки на число .

. Прибавление к одной строке другой, умноженной на любое число.

. Отбрасывание нулевой строки.

. Перестановка двух столбцов.

Лемма. Столбцовый и строчечный ранги матрицы не меняются при элементарных преобразованиях – .

□ Покажем, что сначала, что столбцовый ранг матрицы не меняются при элементарных преобразованиях – .

1) Очевидно, что преобразование не меняет столбцового ранга матрицы .

2) Умножим одну из строк матрицы , для определенности первую, на число . Тогда получится матрица

Требуется доказать, что столбцевые ранги матриц и равны.

Возьмем любую подсистему векторов-столбцов матрицы ; для простоты обозначений, пусть это будут . Согласно теореме 2 из п. 3, § 4 векторное уравнение

(1)

равносильно системе линейных уравнений

(2)

которая, очевидно, равносильна системе

. (3)

Но система (3) равносильна векторному уравнению

, (4)

где – столбцы преобразованной матрицы . Из равносильности уравнений (1) и (4) следует, что подсистема столбцов матрицы линейно независима тогда и только тогда и только тогда, когда линейно независима соответствующая подсистема столбцов матрицы . Но тогда наибольшее число линейно независимых столбцов в матрицах и одно и тоже. Таким образом, преобразование не меняет столбцового ранга матрицы .

3) Точно по такой же схеме проводится доказательство для элементарного преобразования . Пусть для определенности к первой строке матрицы прибавляется вторая, умноженная на число . Тогда получится матрица

.

Надо доказать, что столбцовые ранги матриц и равны. Опять векторное уравнению (1) равносильно системе линейных уравнений (2), которая, в свою очередь, равносильна системе

. (5)

Но система (5) равносильна векторному уравнению

, (6)

где – векторы-столбцы преобразованной матрицы . Равносильности уравнений (1) и (6) означает равенство столбцовых рангов матриц и . Таким образом, преобразование не меняет столбцового ранга матрицы .

4) По той же схеме доказывается, что столбцовый ранг не меняется при элементарном преобразовании – отбрасывании нулевой строки.

5) Очевидно, что преобразование не меняет столбцового ранга матрицы .

Наконец, заметим, что из следствия 5 п. 3, § 4 вытекает то, что строчечный ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях – , а то, что он не меняется при элементарном преобразовании – это очевидный факт.◘

Т е о р е м а. Строчечный и столбцовый ранги матрицы равны.

□ Идея доказательства состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований – матрица приводится (также как и при решении систем линейных уравнений методом Гаусса вторым способом) к так называемому полудиагональному виду:

.

Ясно, что строчечный ранг матрицы равен , так ее строки образуют лестничную систему векторов, которая в силу свойства из п. 2, § 4 линейно независима. С другой стороны, и столбцовый ранг матрицы равен , так ее первые векторов-столбцов образуют базис системы всех векторов-столбцов матрицы : они линейно независимы, а любой другой вектор-столбец матрицы является их линейной комбинацией. Поскольку в силу леммы элементарные преобразования – не меняют ни столбцового, ни строчечного ранга матриц, приходим к выводу о том, что столбцовой и строчечный ранги матрицы равны числу .◘

Доказанная теорема позволяет ввести понятие ранга матрицы.

Определение 2. Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых векторов-строк или векторов-столбцов.

Дата добавления: 2014-01-03