Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)

Полные факторные эксперименты обладают одним значительным недостатком – количество опытов стремительно растет с увеличением числа изучаемых параметров. Такие планы в той или иной степени могут ограничить исследования. Кроме того, количество опытов зачастую прямо пропорционально стоимости эксперимента.

Таблица ниже приводит данные о минимальном количестве опытов, необходимом для реализации экспериментов типа в зависимости от количества параметров:

Количество параметров	Количество экспериментов
…	…

Чтобы сократить количество опытов применяют дробные факторные планы.

Дробным факторным экспериментом называется система экспериментов, представляющих собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитывать коэффициенты уравнения регрессии и сократить объем экспериментальных данных. Такие эксперименты обладают меньшей информативностью, но позволяют значительно сократить количество опытов.

Метод построения дробных факторных планов легче продемонстрировать на конкретных примерах.

Запишем еще раз матрицу планирования ПФЭ (см. табл.2.3)

Таблица 2.8

№ эксперимента					Отклик y
	+	–	–	+
	+	+	–	–
	+	–	+	–
	+	+	+	+

Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде неполного квадратного уравнения

Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан ли­нейной моделью, то достаточно определить три коэффи­циента: и . Остается одна степень свободы. Упот­ребим ее для минимизации числа опытов. При линейном приближении эффект взаимодействия стремиться к нулю и вектор-столбец можно использовать для нового фактора . Приравняем этот фактор взаимодействию . Матрица планирования запишется в виде табл.2.8. Полученный план содержит половину опытов ПФЭ и носит название полурепликой полного факторного эксперимента и обозначается . Выбранное для дополнительного фактора произведение называется генератором плана (поскольку определяет для дополнительного фактора правило чередования уровней в ДФЭ).

Графическое изображение планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23-1 в факторном пространстве (для трех факторов - трехмерное пространство) представлено на рис. 2.11. План ПФЭ представлен кубом с восемью узлами (точками плана), а возможные планы ДФЭ – проекциями этого куба на три плоскости. То есть из восьми узлов выбираются четыре. Из куба можно также выбрать четыре точки из восьми, не лежащие в одной плоскости, и сформировать план ДФЭ .

По данному плану мы можем определить коэффициенты . Однако коэффициенты будут смешаны с парными взаимодействиями.

При значительном числе факторов определение смешанности в ДФЭ является трудоемким. Для нахождения, при каких факторах и взаимодействиях оценки коэффициентов будут смешанными, вводится понятие контраста. Контраст получают умножением обеих частей генератора плана вводимого дополнительного фактора на этот фактор. Например, поскольку для ДФЭ (табл.2.8) генератор плана , то для контраста получим , т.к. , окончательно имеем . Чтобы определить, с какими факторами и взаимодействиями смешана оценка , необходимо умножить обе части контраста на этот фактор. Например, для имеем: , т.е. оценивается одновременно и . Записывается это так

Для , имеем .

Для , имеем ,

где - действительные значения коэффициентов .

В зависимости от числа факторов, входящих в контраст, говорят о разрешающей способности ДФЭ. Так, если для ДФЭ в качестве генератора плана выбрано (контраст соответственно будет ), то говорят, что у такого эксперимента разрешающая способность равна 4; если генератор и контраст , то разрешающая способность равна 3. Генераторы плана с наибольшей разрешающей способностью называют главными и отдают им предпочтение.

Аналогично могут быть построены полуреплики при более высокой размерности факторного пространства. Так, для четырех параметров ПФЭ возможны следующие взаимодействия:

.

Полный факторный эксперимент, соответственно, потребует проведения 2⁴ =16 экспериментов.

Составим матрицу для ДФЭ типа . Эксперимент предполагает изучение 4 факторов, один из которых будет замещать взаимодействие между другими параметрами. Разрешение эксперимента составляет 3. Минимальное количество опытов рассчитываем как .

Ниже представлена матрица эксперимента 2³:

Введем параметр вместо взаимодействия . Значения фактора в каждом опыте будет вычисляться произведением факторов и :

Так как параметр приравнивается к взаимодействию трех других факторов, т.е. не считается самостоятельным параметром, все взаимодействия с его участием исключаются. Таким образом, взаимодействия не изучаются в ходе эксперимента.

Можно было бы предположить, что подобное исключение членов матрицы значительно скажется на точности результатов эксперимента. В ряде случаев взаимодействия между параметрами действительно влияют на изучаемую систему и поэтому не могут быть исключены из эксперимента. Но, в остальном, пренебрежение взаимодействиями выше 2-го порядка, а иногда и взаимодействиями 2-го порядка, оправдано как минимум с точки зрения количества опытов и стоимости их проведения.

======

Очевидно, что ДФЭ типа будет иметь p генераторов.

Планирование позволяет наряду с линейными эффектами оценить и эффекты трех двойных взаимодействий

Коэффициенты уравнения регрессии будут совместными оценками линейных эффектов и двойных взаимодействий

Объясняется это тем, что столбцы матрицы этих эффектов совпадают между собой и, следовательно, не могут быть разделены оценки этих эффектов.

Если бы мы положили , то получили бы вторую половину матрицы

№ эксперимента		План		Отклик y
	+	–	–	–
	+	+	–	+
	+	–	+	+
	+	+	+	–

В этом случае совместные оценки имеют вид

При реализации обеих полуреп­лик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия, как и в полном факторном эксперименте. Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент.

Аналогично могут быть построены полуреплики более высокой размерности факторного пространства. Так для оценки линейной модели четырех переменных , содержащей пять членов, можно использовать полуреплики ПФЭ (табл.2.5). Каждый план содержит 8 экспериментов, в то время как ПФЭ содержит 16 экспериментов.

Номер эксперимента		План					Реакция y
	+	-	-	-	-	+	+	+	y1
	+	+	-	-	+	-	-	+	y2
	+	-	+	-	+	-	+	-	y3
	+	+	+	-	-	+	-	-	y4
	+	-	-	+	+	+	-	-	y5
	+	+	-	+	-	-	+	-	y6
	+	-	+	+	-	-	-	+	y7
	+	+	+	+	+	+	+	+	y8

Генерирующие соотношения могут быть заданы в виде

Дополнительные факторы приравнены наиболее сложным (тройным) взаимодействиям, так как их влияние на модель в целом наименее существенно. Однако возможны и другие схемы построения полуреплик. Так можно было бы воспользоваться одной из следующих пар генерирующих соотношений

что привело бы к другим планам

Если предполагается сохранить в модели кроме линейных членов какие-либо из взаимодействий, полезно провести предварительное статистическое исследование для выявления наиболее значимых из них. В этом случае выбор генерирующих соотношений осуществляется с учетом результатов такого исследования.

Поэтому, если после проведения экспериментов одной из полуреплик исследователь усомнился в правильности предположения о несущественности эффектов взаимодействий, он должен провести эксперименты второй полуреплики и разделить оценки по схеме

Возможность такого разделения очевидна, так как две полуреплики образуют полное факторное планирование

Дата добавления: 2014-01-03