Метод контурных токов

Расчет разветвленных электрических цепей постоянного тока

Расчет разветвленной электрической цепи представляет собой решение системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа для заданной цепи.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в каждом из узлов цепи: алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов цепи, в любой момент времени равна нулю.

Σ i_k = 0, (1)

где k – номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.

Это правило вытекает из невозможности накопления зарядов в узлах электрической цепи.

Суммировании токов производится с учетом выбранных положительных направлений: всем токам, одинаково ориентированным относительно узла, приписывается одинаковый знак.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями ветвей, входящих в произвольный контур: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех ветвей, входящих в любой контур, в каждый момент времени равна нулю. Согласно закону для каждого контура можно составить уравнение баланса напряжений ветвей

Σ Uk = 0, (2)

где k – номер ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Второй закон Кирхгофа следует из равенства нулю алгебраической суммы падений напряжений на элементах контура.

Суммирование напряжений производится с учетом их положительных направлений и выбранного направления обхода контура. Если положительное направление напряжения ветви совпадает с направлением обхода контура, то оно входи со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Метод контурных токов относится к одному из основных методов расчета сложных электрических цепей благодаря его простоте. Суть метода состоит в том, что определяются не токи ветвей, а контурные токи, замыкающиеся только в своих контурах. Токи ветвей, входящих в два смежных контура, определяются как разность или сумма контурных токов в зависимости от выбранных их направлений.

Пример 1.

На рисунке 5 представлена двухконтурная электрическая цепь, в которой через I1 и I2 обозначены контурные токи. Токи в периферийных ветвях будут равны контурным токам, а ток в ветви, являющейся общей для обоих контуров, будет равен разности контурных токов. Если направления контурных токов выбрать различными, то ток общей ветви будет равен сумме контурных токов.

R1 R4

R3

		I2
				Е3
		I1

Е2

R2 R5

Рис. 5. Двухконтурная электрическая цепь

Выбор направления контурных токов не имеет принципиального значения, но обычно направления токов во всех контурах выбирают одинаковыми для получения общих закономерностей при составлении и решении системы уравнений. Желательно при этом выбрать направление тока таким образом, чтобы он совпадал с направлением хотя бы одной ЭДС.

Сумму сопротивлений, входящих в контур, называют собственным сопротивлением контура, а сопротивление, являющееся общим для нескольких контуров, – общим сопротивлением этих контуров (R3).

Для заданной схемы с двумя независимыми контурами по второму закону Кирхгофа могут быть записаны уравнения

(R1 + R3 + R2)· I1 – R3· I2 = E1 – E2,

– R3· I1 + (R3+R4+R5)· I2 = E2 + E3, (3)

где (R1 + R3 + R2) и (R3+R4+R5) – собственные сопротивления контуров, R3 – общее сопротивление первого и второго контуров (знак минус у сопротивления обусловлен выбором одинаковых положительных направлений контурных токов).

Определим методом контурных токов токи ветвей в рассматриваемой схеме, если схема имеет следующие данные: R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом,
R3 = 15 Ом, R4 = 25 Ом, R5 = 40 Ом, E1 = 50 В, E2 = 30 В, E3 = 60 В.

Подставляем в систему уравнений (3) числовые значения коэффициентов

(10 Ом + 20 Ом + 15 Ом) · I1 – 15 Ом · I2 = 50 В – 30 В.

– 15 Ом · I1 + (15 Ом + 25 Ом + 40 Ом) · I2 = 30 В + 60 В.

Преобразуем

1) 45· I1 – 15· I2 = 20.

2) – 15· I1 + 80 · I2 = 90.

Из уравнения (1) определим ток I 1

I1 = (20 + 15· I2)/45 = (0,444 + 0,333· I2)

Подставим в уравнение (2)

– 15·[0,444 + 0,333· I2 ] + 80· I2 = 90, –6,666–4,995 I2 + 80· I2 = 90.

Отсюда I2 = 1,288 А.

Подставляем значение тока I2 в уравнение 1) и находим величину тока · I1.

45· I1 – 15·1,288 = 20.

Отсюда I1 = 0,874 А.

Определяем падение напряжения на сопротивлениях схемы.

U_R1 = 10Ом·0,844А = 8,74 В, U_R2 = 20 Ом · 0,844 А = 17,48 В,

U_R3 = 15 Ом · 0,414 А = 6,21 В, U_R4 = 25 Ом ·1,288 А = 32,22 В,

U_R5 = 40 Ом ·1,288А = 51,55 В.

Проверяем правильность проведенных расчетов, воспользовавшись вторым законом Кирхгофа 2) – сумма напряжений в контуре равна нулю.

Для контура 1.

Е1 + U_R1 + U_R2 – Е2 + U_R3 = 0.

50 В + 8,74 В + 17,48 В – 6,21 В – 30 В = 0

Условие выполняется.

Для контура 2.

U_R3 + U_R4 +U_R5 = Е2 + Е3.

6,21 В + 32,22 В + 51,55 В = 90 В. С погрешностью 00,02 В условие выполняется.

Дата добавления: 2017-01-14