Методическая разработка

	Объем цилиндра равен произведению площади основания S на высоту h: где R – радиус основания
	Объем конуса равен одной трети произведения площади основания S на высоту h: где R- радиус основания конуса
	Объем шара равен где R – радиус шара

1. Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок [а;в] оси абсцисс и ограничена сверху графиком функции f, неотрицательной и непрерывной на отрезке [а;в].

При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси ОХ получаем тело, объем которого находится по формуле

Используя данную формулу, мы сейчас и выведем формулы объема цилиндра, конуса и шара.

2. При вращении прямоугольника вокруг одной из сторон получаем цилиндр.

Рассмотрим прямоугольник в прямоугольной системе координат.

При вращении прямоугольника ОАВС вокруг оси ОХ получим цилиндр, где ОА радиус основания, ОС высота. Прямоугольник ОАВС является криволинейной трапецией, ограниченная графиком функции у = R, прямыми х =0 и х =Н и отрезком [0;Н] оси ОХ..

Подставим все данные в формулу для объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции.

3. При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получим конус.

Рассмотрим прямоугольный треугольник в прямоугольной системе координат.

При вращении прямоугольного треугольника ОАВ вокруг оси ОХ получим конус, где АВ радиус основания конуса, ОВ высота. Прямоугольный треугольник является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции у = кх, где к= tgα = R/H, прямой х=Н, отрезком [0;Н] оси ОХ.

Подставим все данные в формулу объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции.

4.При вращении полукруга вокруг диаметра получим шар.

Рассмотрим полукруг в прямоугольной системе координат.

При вращении полукруга вокруг оси ОХ получим шар, где ОА = R. Полукруг является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y = √ R2-x2, отрезком [-R;R] оси ОХ.

Пример 1. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 93.

Дата добавления: 2015-07-13