Множини міри нуль і вимірні функції 1 страница

Вступ

Анотація.

Побудова простору Лебега

МП

Руководитель

Рекомендации для совершенствования профессиональной деятельности работника

III. Оценка профессиональных компетенций и продуктивности деятельности

аттестуемого работника*

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Информационная компетентность аттестуемого работника (владение информационными, мультимедийными технологиями и цифровыми ресурсами)_________________________________

Выводы и предложения для аттестационной комиссии Министерства образования и науки Республики Татарстан:

______________________________________________________соответствует (не соответствует)

(Должность, фамилия, имя, отчество аттестуемого работника)

занимаемой должности

1.

2.

образовательного учреждения __________________ (расшифровка подписи)

(подпись)

С представлением ознакомлен(а)_____________20_____г. ______________ ( расшифровка подписи)

(подпись)

*Объем информации в пункте III «Оценка профессиональных компетенций и результативности деятельности аттестуемого работника» не ограничивается форматом данного образца представления. В соответствии с п. 20 Порядка аттестации, представление должно содержать мотивированную, всестороннюю и объективную оценку профессиональных деловых качеств и компетенций на основе квалификационной характеристики по занимаемой должности; сведений о результативности работы за период, предшествующий аттестации работника. Общий объем представления не должен превышать 4 л.

Описание профессиональных компетенций педагогических работников и разъяснения по их оценке опубликованы на сайте МО и Н РТ (mon.tatar.ru) в разделе «Педагогическая аттестация»/ Нормативные документы/Методика оценки квалификации педагогических работников

Курсова робота

Науковий керівник:
доцент Фотій О.Г.

Виконав:

Студент 305 групи

Плантус І.І.

Чернівці 2015

Дана курсова робота присвячена детальному розбору четвертого розділу «Теорія інтегралу» з [1].

Зміст

Вступ …………………………………………………………………………4

§1 Множини міри нуль і вимірні множини……....................................5

§2 Клас С⁺....................................................................................................10

§3 Сумовні функції та простір Лебега ……………………………….…17

Література…………………………………………………………………...25

Класичне визначення інтегралу, дане Коші і Ріманом є цілком достатнім для застосування до окремих неперервних або кусково-неперервних функцій, але для більш широкого класу функцій цього визначення недостатньо. Відомо [2, с. 93], що простір неперервних функцій на відрізку з метрикою не є повним, і приєднання до простору розривних функцій інтегровних за Ріманом нічого не змінює. Тільки нова конструкція інтегралу, більш ширша, ніж Ріманова, дозволяє вказати клас функції, що дає поповнення простору по вище згаданій метриці.

Нагадаємо [3, c. 125], що коли - міра, задана на півкільці в , зовнішня міра в , що породжена мірою, алгебра вимірних множин в , які ми надалі будемо називати просто вимірними, і стан-дартне продовження міри з напівкільця на алгебру .

Ті підмножини називається множиною міри нуль. Рівність означає, що для кожного існує така послідовність елементів що i

Якщо множина А є підмножиною відрізку , то означення множини міри нуль буде виглядати так: A називається множиною міри нуль, якщо для довільного її можна покрити скінченною або зліченною послідовністю інтервалів, сума довжин яких не перевищує .

Твердження 1.1. Довільна зліченна сукупність точок є множиною міри нуль. Довільний відрізок [a,b] не є множиною нуль.

Доведення. Нехай - зліченна множина. Зафіксуємо деяке . Тоді послідовність інтервалів з довжинами покриває точки множини А і має загальну суму довжин, не більше ніж . Отже, множина А є множиною міри нуль.

Доведемо тепер, що відрізок не є множиною нуль. Справді, якщо відрізок покритий системою відкритих інтервалів числової прямої, то за лемою Гейне-Бореля [2, c. 122], можна з даного покриття вибрати скінченне підпокриття; сума довжин навіть цих інтервалів перевищує число , тобто довжину всього відрізка .

Множини міри нуль є такими, що значення функції на цій множині не є суттєвим при обчисленні інтегралу від неї.

Твердження 1.2. Інтеграл від функції , який рівний одиниці на множині А міри нуль, і рівний нулю на доповненні А, рівний нулю.

Доведення. Покриємо множину А системою інтервалів з загальною довжиною меншою за . Зрозуміло, що інтеграл від функції , якщо він визначений правильно, не повинен перевищувати суму площ прямокутників висотою 1 та основами на вказаних інтервалах. А ця сума рівна сумі довжин самих інтервалів і за умовою менша , тобто може бути як завгодно малою. Звідси, необхідно випливає, що функція повинна мати інтеграл, рівний нулеві.

Зауважимо, що в наведеному означенні множини міри нуль можна замінити покриття множини інтервалами, покриттям із відрізків або будь-яких проміжків (із включеними чи невключеними кінцями). Справді, якщо є покриття множини А проміжками з загальною довжиною меншою , то, замінюючи n -ий проміжок з інтервалом довжини, не більше нiж на перевищуючи довжину n -го проміжку, отримаємо і покриття множини А інтервалами, загальна довжина яких не перевищує тому, якщо множину А можна покрити системою якихось проміжків з загальною довжиною як завгодно малою, то можна покрити і системою інтервалів з загальною довжиною також як завгодно малою, тобто множина А має міру нуль.

Вкажемо просту конструкцію замкнутих множин міри нуль. Припустимо, що замкнута множина F на відрізку отримується викиданням із цього відрізка відкритої множини, яка складається із скінченої сукупності неперетинних інтервалів з загальною довжиною, рівною . Тоді ми можемо стверджувати, що множина F має міру нуль. Справді, для заданого , можна знайти таке n, що

.

Через ми, тут і надалі, позначатимемо довжину інтервалу . Ті n інтервалів, котрі залишилися не перетинаються і разом з проміжками відрізками (число яких m може бути рівне , n або , виключаючи той випадок, коли i мають спільний кінець і, отже, вироджується в точку) дають скінченне покриття (проміжками) всього відрізку . Так як сума довжин більша, ніж , то система має загальну довжину меншу за ; а так як вона, очевидно, покриває всю множину F, то ми і отримаємо, що F є множиною міри нуль.

Здавалось би, важко очікувати, що після викидання із відрізку довжиною системи неперервних інтервалів з загальною довжиною також може залишитися як завгодно багата точками множина. Виявляється, що тим не менше залишок може бути навіть еквівалентний (за потужністю) всьому вихідному відрізку.

Прикладом може бути канторова множина на відрізку [3, с. 124].

Приклад 1. Канторова множина С визначається так. Відрізок ділиться на три рівних частини точками і , і середній інтервал викидається. Дві відрізки i знову діляться на три рівних частини відповідно точками і та і , і об’єднання знову викидається. Те ж саме пророблюється з чотирма відрізками i що залишилися, потім з вісьмома відрізками, що залишилися, і цей процес продовжується до нескінченності. Те, що з відрізка при цьому залишиться при такому викиданні – це і є канторова множина С.

Позначимо символом множину, яка викидається на n -му кроці. Це відкрита множина, яка має складових інтервалів кожний з яких має довжину . Тому . Зрозуміло, що множини попарно не перетинаються, тому для їх об’єднання будемо мати . Різниця і є за означенням канторова множина С, яка є замкненою, адже G відкрита. Тому множина С вимірна за Лебеґом і

Можна показати, що множина С складається з тих і тільки тих з відрізка , які допускають зображення у вигляді трійкового дробу , де або 2. Звідси легко вивести, що потужність канторової множини, як і всього відрізка дорівнює потужності континуума с. Таким чином, на прямій і континуальні множини можуть мати нульову міру.

Тому згідно вище сказаному канторова множина має міру нуль. Надалі ми часто будемо використовувати наступну властивість множини міри нуль.

Лема 1. Об’єднання скінченної або зліченної сукупності множин міри нуль є множиною міри нуль.

Доведення. Розглянемо одразу випадок зліченної сукупності множин міри нуль. Для заданого і для кожного покриємо множину зліченною системою інтервалів з загальною довжиною менше Тоді вся множина виявиться покритою зліченною системою інтервалів (сума зліченної множини зліченних множин) з загальною довжиною, меншою за . Тому, має міру нуль, що і потрібно було довести. Якщо деякою властивістю володіють всі точки відрізка , за можливим виключенням множини міри нуль, то ми кажемо, що вона виконана “майже для всіх точок” або “на множині повної міри”.

Наприклад, майже для всіх точок , виконується та властивість, що ірраціональне. Бувають функції майже скрізь неперервні, тобто неперервні в кожній точці, крім, можливо, множини міри нуль. Для функцій, яким дозволяється приймати і нескінченні значення, має зміст назва “скінченна майже скрізь”; це означає, що множиною, на якій функція нескінченна, сама більша є множина міри нуль. Тепер ми можемо описати клас функцій, в якому буде проходити наша подальша робота по визначенню інтегралу. Функції, котрі входять в цей клас, називаються вимірними функціями.

Східчастою функцією є функція, яка приймає деяке стале значення в кожному із інтервалів деякого розбиття відрізка на частини за допомогою точок поділу .

В самих точках поділу ми можемо не цікавитися значеннями східчастої функції, оскільки цих точок скінченна кількість – і тим самим множина міри нуль. Сукупність східчастих функцій є лінійним простором із звичайними операціями додавання і множення на числа: якщо i – східчасті функції, то їх лінійна комбінація також є східчастою функцією.

Вимірною функцією є така функція, яка визначена і скінченна майже скрізь на відрізку і може бути представлена як границя майже скрізь збіжної послідовності східчастих функцій.

Твердження 1.3. Вимірні функції утворюють лінійний простір.

Доведення. Нехай східчасті функції збігаються до функції скрізь, крім множини міри нуль, а східчасті функції – до функції скрізь, крім множини міри нуль, то східчасті функції збігаються до функції скрізь, крім множини , яка, за доведеною лемою 1, також є множиною міри нуль; отже, функція також вимірна. І багато інших властивостей, якими володіє клас східчастих функцій, можна подібним граничним переходом перенести на клас вимірних функцій.

Твердження 1.4. Нехай і - вимірні функції і . Тоді функції , визначенні на множині і є вимірними. Частка визначена на множині і є там вимірною.

Взагалі кажучи, разом з функцією вимірними являються її додатня і від’ємна частина і .

§2. Клас С⁺

Приступимо до побудови поняття інтегралу.

Розглянемо спершу східчасту функцію , тобто функцію, яка приймає сталі значення в кожного із скінченного числа проміжків , на які відрізок розбивається точками поділу .

Інтеграл від східчастої функції природно визначити так:

.

Для скорочення запису надалі будемо вираз вигляду позначимо через

Теорема 2.1. Інтеграл від східчастих функцій володіє наступними властивостями:

і) для будь-яких двох східчастих функцій i ;

іі) для будь-якого числа ;

ііі) якщо , то ; взагалі кажучи, якщо то ;

iv) якщо послідовність монотонно спадає (так, що і прямує до нуля майже скрізь, то ;

v) якщо послідовність монотонно спадає і при цьому то ця послідовність прямує до нуля майже скрізь.

Надалі для позначення граничного переходу при монотонному спаданні будемо використовувати знак , так що, наприклад, запис означає, що послідовність функцій , монотонно спадаючи, прямує майже скрізь до функції . Аналогічно : означає, що послідовність функцій , монотонно зростаючи, прямує майже скрізь до функції .

Доведемо властивість iv). Нехай, що і доведемо що . Класичну теорему про почленне інтегрування збіжної послідовності функцій тут застосовувати неможна, оскільки ця теорема передбачає рівномірну збіжність послідовності функцій до своєї границі. Для доведення поступимо наступним чином. Об’єднання множини, на якій послідовність не збігається до нуля, і зліченної множини точок розриву всіх позначимо через ; це – множина міри нуль. Покриємо її системою інтервалів з загальною довжиною, меншою заданого . Кожній із залишившихся точок спів ставимо номер , для якого виконується нерівність , та інтервал що містить цю точку, в якому функція зберігає своє значення. Інтеграли разом з інтервалами утворюють покриття відрізка , із якого ми можемо вибрати скінченне під покриття. Позначимо ці інтервали через , позначаючи штрихом ті інтервали, які побудовані за точками . Якщо найбільший із номерів, які відповідають відповідним точкам , то функція та наступні функції на інтервалах не перевищують . На інтервалах , сума довжин яких, за побудовою, менша , ці функції не перевищують числа максимума функції . Тепер зрозуміло, що для інтегралу від функції по відрізку і для інтегралу для всіх наступних функцій ми отримаємо оцінку вигляду . Так як можна було взяти довільно малим, то ми приходимо до висновку, що , що і потрібно було довести.

Дата добавления: 2015-08-31