Чётность и нечётность

Периодичность.

Монотонность.

Лекция № 9. 28. 10. 2016

Если , то есть , график - кривая в плоскости.

Если функция двух переменных, то есть , её график - это поверхность в трёхмерном пространстве.

Монотонно возрастающая функция: если то .

Монотонно убывающая функция: если то .

Если существует такое число , что верно то функция называется периодической, - период.

Примеры. , период , , период .

О влиянии коэффициента на период. Если период равен . Если , колебания становятся чаще, а период меньше. Почему так происходит? Точка прошла расстояние , в это время - прошло в раз больше, то есть в раз больше колебаний произошло на этом отрезке, длина которого . Если наоборот, период больше, а колебания реже, чем у исходного графика.

Чётная функция: . График чётной функции симметричен относительно оси 0y, т.е. при зеркальном отражении переходит в точно такой же график, примером может быть парабола, а также cos(x).

Нечётная функция: . График нечётной функции симметричен относительно точки (0,0), то есть после поворота на 180⁰ график был бы таким же, примером может быть кубическая парабола или любая другая нечётной степени, или например синус, тангенс.

Существует такое неочевидное свойство разложения на чётные и нечётные компоненты:

Свойство. Любая функция f представима в виде суммы чётной и нечётной, то есть .

Доказательство. Введём две функции: , . Первая из них чётна, вторая нечётна. Видно, что если заменить на , то для получится выражение, равное исходному, а вот для разность в числителе будет противоположна: = .

Сумма этих функций: = = = .

итак, .

Если чётную и нечётную компоненты записать для функции , то получатся так называемые гиперболический косинус и гиперболический синус: , .

Вообще, существует 3 способа задания функций - явный, неявный, параметрический.

Способ задания:	Явно	Неявно	Параметрически
Вид уравнения:
Пример (окружность)
Пример (прямая)

Для поверхностей тоже существуют эти 3 способа:

Явный: Неявный:

Параметрический: (в этом случае обязательно будет два параметра). Например, 2 параметра на сфере: широта и долгота.

Дата добавления: 2017-01-13