Точки перегину.

4. Друге правило дослідження функції на екстремум.

5. Асимптоти кривої.

6. Загальна схема дослідження функції і побутова графіка.

7. Рівняння дотичної.

Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

1. Задачі, які приводять до поняття похідної.

а) Задача про миттєву швидкість.

змінна.

?

Нехай а

миттєва.

миттєва.

б) Задача про дотичну до кривої.

Нехай , рухаючись по кривій. Тоді січна до дотичної, а

2. Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної.

Означення похідної.

Границя відношення просторі до приросту аргументу , якщо приріст аргументу прямує до нуля, називається функції в точці і позначається .

Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції.

Фізичний зміст похідної:

Похідна від шляху по часу дорівнює в заданий момент часу .

Геометричний зміст похідної:

Похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою .

Загальний метод знаходження похідної.

Похідна від функції знаходиться по слідуючих кроках:

1) Знаходимо в точці приріст функції ;

2) Знаходимо - відношення приросту функції до приросту аргументу;

3) Знаходимо границю цього відношення при умові, що .

3. Формули диференціювання.

4. Друга похідна та її фізичний зміст.

Похідна від першої похідної називається другою похідною і позначається

, ,

Друга похідна від по дорівнює прискоренню в заданий момент часу .

5. Застосування похідної.

1. Зростання та спадання функції.

Теорема про необхідні та достатні умови зростання та спадання функції на проміжку:

Якщо, функція диференційована на і , для , то функція на цьому проміжку зростає, а якщо для , то функція на цьому проміжку спадає.

Схема дослідження функції на монотонність:

1) Знаходимо ;

2) Знаходимо критичні точки (точки, в яких похідна дорівнює нулю, або не існує);

3) Критичні точки ділять на проміжки монотонності;

З кожного проміжку виберемо довільну точку і підставимо її в похідну, якщо , то функція зростає на цьому проміжку, якщо , то функція спадає на цьому проміжку.

2. Екстремуми функції.

Основні означення:

Точка називається точкою максимуму функції , якщо для виконується умова .

Значення функції в точці максимуму називається максимумом функції і позначається .

Точка називається точкою мінімуму функції , якщо для виконується умова .

Значення функції в точці мінімуму називається мінімумом функції і позначається .

Мах і тіn функції називається екстремумом функції.

Необхідна умова існування екстремуму:

Теорема Ферма:

Якщо точка екстремуму функції і функція в цій точці має похідну, то .

Достатня умова екстремуму.

Теорема Роля.

Якщо при переході через критичну точку похідна неперервної функції змінює знак, то функція в цій точці має екстремум, якщо:

1) з "+" на "-", то - точка максимума;

2) з "-" на "+", то - точка мінімума.

Схема дослідження функції на екстремум:

1. Знаходимо критичні точки першого роду.

2. Розміщуємо критичні точки в порядку зростання. підставляємо в похідну любе число менше , потім більше , але менше . Якщо при цьому знак похідної змінюється з "+" на "-", то функція при має максимум, якщо з "-" на "+", то функція при має мінімум.

3. Обчислюємо тобто знаходимо максимальне значення функції.

Дата добавления: 2017-02-01