Відстань від точки до площини

Нехай задано точку і площину (Р): .

Відстань d від точки М ₁ до площини (Р) дорівнює довжині перпендикуляра , опущеного з точки М ₁ на цю площину (рис. 3.8). Якщо – яка-небудь точка площини (Р), то ця відстань дорівнює абсолютній величині проекції вектора на напрям нормального вектора :

тому що , (ми використали формулу для проекції вектора на напрям іншого вектора з п. 2.5).

Точку було взято на площині (Р), отже підстановка її координат у рівняння площини дає вірну рівність

або ^.

Тоді остаточно

. (3.18)

Приклад 1. Знайти кут між площиною і площиною .

Розв’язання. Кут між площинами (Р ₁) і (Р ₂) знайдемо як кут між їх нормальними векторами і за формулою (3.15):

,

звідки .

Приклад 2. Знайти значення α та β, при яких площини і паралельні.

Розв’язання. Використаємо умову (3.16). Площини будуть паралельні, якщо буде виконуватись рівність

, тобто ; .

Звідси , .

Приклад 3. Знайти відстань від точки до площини .

Розв’язання. Відстань від точки М ₁ до площини (Р) знайдемо за формулою (3.18):

.

Дата добавления: 2014-01-04