Скалярний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток модулів цих векторів і косинуса кута між ними:

(2.10)

(в літературі скалярний добуток може також позначатися символом ).

Отже скалярний добуток двох векторів є число (скаляр). Враховуючи формулу (2.4), можна написати:

. (2.11)

Формули (2.11) виражають геометричний зміст скалярного добутку: скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора.

3 фізики відомо, що робота А сили при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора , який утворює з вектором кут α (рис. 2.10), дорівнює А =, або

A = .

Отже, робота дорівнює скалярному добут­ку вектора сили на вектор переміщення. В цьому суть механічного змісту скалярного добутку.

α

Рис. 2.10

Сформулюємо основні властивості скалярного добутку.

1) – комутативність (на підставі означення – формули (2.10)).

2) – асоціативність відносно множення на число (випливає з формули (2.11) і властивості проекцій (2.3)).

3) – дистрибутивність відносно додавання (випливає з формул (2.11) і (2.2)).

4) Скалярний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники взаємно ортогональні (перпендикулярні):

(2.12)

(випливає з означення, формула (2.10)).

5) На підставі означення (2.10) скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:

(2.13)

Тому , при чому рівність має місце лише при .

Зауваження. Алгебраїчні властивості скалярного добутку (властивості 1-3) дозволяють у виразах, що містять скалярний добуток, виконувати потрібні перетворення і обчислення за звичайними правилами алгебри.

Дата добавления: 2014-01-04