Линейные уравнения первого порядка

Однородные уравнения первого порядка

Прежде чем перейти к рассмотрению вопроса о решении однородных уравнений первого порядка познакомимся с понятием однородных функции.

Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных и, если при любом справедливо тождество

.

Так, например, функция однородная функция первого измерения, т.к.;

функция однородная функция нулевого измерения, т.к.;

функция не однородная функция, т.к. однородная функция первого измерения, а однородная функция четвёртого измерения.

Определение 2. Уравнение первого порядка называется однородным относительно и, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и.

Однородные уравнения первого порядка приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки

Уравнение вида будет однородным тогда и только тогда, когда функции и будут однородными функциями одного и того же измерения.

Например, однородное уравнение;

не однородное уравнение.

Замечание: Уравнения вида при приводятся к однородным подстановкой где точка пересечения прямых и Таким образом, для определения и необходимо решить систему уравнений:

Если же, то подстановка позволяет разделить переменные.

Пример 1. Решить уравнение.

Вычислим определитель. Найдем точку пересечения прямых:

Произведем в исходном уравнении замену переменных:, тогда

Уравнение преобразуется к виду. Это однородное уравнение, которое решается с помощью подстановки.

Зная, что, получим или Из замены имеем, тогда

или.

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид:

(1)

где заданные непрерывные функции от или постоянные числа.

Решение линейного уравнения будем искать в виде произведения двух функции от:

(2)

где. Дифференцируя обе части последнего выражения, получим:

(3)

Значения подставим в данное уравнение (1)

или

Выберем функцию такой, чтобы

, (4)

тогда. (5)

Решив сначала уравнение (4) и затем уравнение (5), найдём значения и. Подставив значения и в (2) найдём решение уравнения (1).

Замечание: Уравнение вида, (6)

где и, называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим преобразованием: разделим все члены уравнения на

(7)

и произведём замену. (8)

Тогда. (9)

Подставив значения (8) и (9) в (7), получим или

(10)

Решив линейное уравнение (10) и учитывая, что, найдём решение уравнения (6).

Заметим, что уравнение (6) часто можно решить как и линейное уравнение с помощью подстановки.

Дата добавления: 2014-01-04