План лекции. 2.Случайные события, их классификация

Лекция

ТЕМА 15. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ.

1.Элементы комбинаторики.

2.Случайные события, их классификация.

3.Классическое определение вероятности, свойства вероятности.

4.Операции с событиями.

5.Классификация событий, теоремы о вероятностях.

6.Формула полной вероятности.

7.Схема испытаний И.Бернулли.

8.Формула Байеса.

1.Из элементов множества А можно составлять различные подмножества, в связи с этим появляются следующие задачи:

1) из множества А отобрать некоторое подмножество элементов, обладающих определенным свойством;

2) в данном упорядоченном множестве А подсчитать число всех возможных способов расположения его элементов;

3) из множества А отобрать равносильные подмножества, различающиеся как элементами, и так порядком их расположения.

Это задачи из теории конечных множеств, комбинаторные. Множества, содержащие конечное число элементов, называют соединениями, они делятся на три вида: сочетания, перестановки и размещения. Пусть множество А содержит n элементов. Сочетание из «n» элементов множества А, взятых по «к» элементов, это всякое множество, содержащее «к» элементов данного множества:- число сочетаний из «n» по «к» элементов, читается: «С из n по к». Например, для А ={1,2,3,4} множества ={1,2,3}, ={1,2,4}, ={2,3,4}, ={1,3,4} - сочетания: . В сочетаниях порядок следования элементов не имеет значения. Свойства: [1]. - число подмножеств n -элементного множества А, содержащих по одному элементу: = n; [2]. - число подмножеств n - элементного множества А, содержащих по «n» элементов:; [3].- число подмножеств n -элементного множества, не содержащих элементов: . [4]. 1!=1; [5]. 0!=1. [6]. (1). Например, при вычислении числа диагоналей выпуклого десятиугольника с учетом того, что он образован десятью точками, из которых никакие три точки не лежат на одной прямой и через каждые две точки проходит одна прямая, получаем число сочетаний из десяти элементов по два элемента: ; в число этих 45 сочетаний включены 10 прямых, являющихся сторонами десятиугольника, поэтому число диагоналей десятиугольника: 45-10=35. Если в множестве установлен строгий порядок, то множество упорядоченное. В различных ситуациях установленный порядок элементов в множестве может изменяться, Возникает комбинаторная задача: сколькими способами можно упорядочить конечное множество. Перестановка – это любое упорядоченное конечное множество: (2) - число различных перестановок в n - элементном множестве А. Например, из элементов А ={1,2,3} можно составить перестановок: (123);(312);(231);(213);(321);(132), они отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Размещение из «n» элементов по «к» элементов –это упорядоченное подмножество множества А, состоящее из «к» элементов множества А ():(3). Например, если из А ={1,2,3,4} составить всевозможные сочетания из любых трех его элементов (их : {1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4}), а затем в каждом из них, записанных в виде перестановки, поменяем элементы местами (перестановок в каждом из сочетаний – 6), то всего размещений получим , или (4). В итоге для соединений (сочетаний, перестановок, размещений) имеем:

- число конечных множеств, содержащих по «к» элементов из «n» элементов данного множества, различающихся как самими элементами, так и порядком их расположения.

- число конечных множеств, содержащих по «к» элементов из «n» элементов данного множества, различающихся только самими элементами.

- число конечных множеств, содержащих по «к» элементов и различающихся только порядком их расположения.

2..В основе научных знаний лежит наблюдение, верной оценки происходящих явлений нужны многократные наблюдения. Результаты наблюдений одного и того же явления в процессе исследований изменяются, каждое явление связано с большим числом других явлений. Проследить все взаимосвязи между явлениями невозможно, поэтому изучают влияние основных факторов. В природе и обществе встречаются явления, которые при неоднократном их воспроизведении протекают каждый раз по-другому – это случайные явления. Например, по выбранной мишени производится ряд выстрелов. При небольшом числе выстрелов следы попадания пуль распределяются беспорядочно. При увеличении числа выстрелов в центральной области следы пуль располагаются чаще, чем по краям (густота пробоин убывает по вполне определенному закону – «нормальному»). Такие «статистические» закономерности наблюдаются при рассмотрении массы однородных случайных явлений. Методы теории вероятностей исследуют массовые случайные явления, конкретный же исход каждого случайного явления остается неопределенным. Испытание - это наблюдение, проведение опыта. Событие – это результат опыта, исход испытания: A, B, C… -события. Например, в процессе игры выбрасывают кость (кубик) -это испытание; выпадение числа 4 - событие. Достоверное событие – событие, которое в испытании является единственно возможным его исходом. Невозможное событие – это событие, которое в испытании заведомо не может произойти. Случайное событие – это событие которое объективно в испытании может либо произойти, либо не произойти. Например, при выбрасывании кости выпадение хотя бы одного из чисел 1,2,3,4,5,6 – событие достоверное, выпадение числа 4 – случайное, выпадение числа 8 – невозможное. Часто происходят одновременно не одно, а два или несколько событий. Совместимые - это два события А и В, когда появление события А не исключает появления события В, и наоборот. Несовместимые - этодва события А и В, когда появление события А исключает появление события В, и наоборот. Например, выпадение на кости числа 2 и числа четного – события совместимые; выпадение числа 2 и числа нечетного - события несовместимые. Противоположные события – это события А и В, если одно из событий обязательно происходит и они несовместимы. Например, при бросании монеты выпадение герба и числа –противоположные события; если А – событие, то - противоположное событие.

3. Есть целый класс опытов, для которых возможные исходы легко оценить непосредственно из условий самого опыта. Например, при выбрасывании кости все шесть исходов одинаково возможными, поэтому можно считать, что при многократном выбрасывании кости все шесть граней выпадают примерно одинаковое число раз: 4 появляется примерно в одной шестой доле случаев: вероятность выпадения числа 4 равна одной шестой.

Полная группа событий - это- множество событий таких, что - несовместимы и хотя бы одно - достоверное событие. Равновозможные события – это события такие, для которых ни одно из событий не является более возможным, чем другие. Элементарные события – это события такие, что эти события образуют полную группу событий и равновозможны.

При испытаниях с костью возможны шесть событий – выпадение чисел 1,2,3,4,5,6. Если событие А – «выпадение четного числа», то этому событию благоприятствуют три случая: появление чисел 2,4,6, и не благоприятствуют три остальных случая. Первые три случая – это события благоприятствующие. Событие, б лагоприятствующее событию А, - это такое событие В, наступление которого влечет за собой наступление события А. В происшедшем событии А обозначим: - m - число элементарных событий испытания, благоприятствующих событию А; - n - число всех элементарных событий. Вероятность события А – это отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий: (5). Например, найдем вероятность выпадения на кости числа, кратного 3 (события А), имеем: (а) все элементарные события – это выпадения чисел 1,2,3,4,5,6, n=6; (б) события, благориятствующие событию А, это числа 3,6, m =2, тогда P(A)=Свойства: [7]. Если событие А - достоверное, то Р(А)=1. [8]. Если событие А – невозможное, то Р(А)= 0. [9]. Если событие А – случайное, то 0< P(A)< 1. [10]. Вероятность наступления событий, образующих полную группу событий, равна единице. Например, если из сетки с двумя белыми и тремя краснымих мячами вынуть один мяч, то вероятность того, что вынутый мяч белый равна: общее число мячей n =2+3=5; случаев, благоприятствующих тому, что вынут белый мяч m =2 (белых мячей - 2), тогда Р(А)=.

4. С событиями производят операции. Сумма двух событий А и В -это событие С, которое состоит в наступлении по крайней мере одного из событий А или В: А + В = С (6). Если стреляют два стрелка по одному выстрелу (А и В), то сумма А+В - событие С (попадание в цель хотя бы одного стрелка). Произведение двух событий А и В – это событие С, состоящее в наступлении событий А и В одновременно :С=АВ (7).

5. Для рассмотрения вероятности появления двух событий А и В, события классифицируются по двум основаниям: (а) события «зависимые - независимые» и (b) события «совместимые – несовместимые».

I. При классификации событий по основанию «зависимые – независимые» рассматривается вероятность произведения событий: Р(АВ).

II. При классификации событий по основанию «совместимые - несовместимые» рассматривается вероятность суммы событий: Р(А+В).

Классификация (а ). Для зависимых – независимых событий одно из событий (B) зависит от того, произошло или нет первое событие А. Независимые – это такие события А и В, что появление события А не изменяет вероятности появления события В и наоборот. Например при стрельбе двух стрелков результат выстрела одного из них не зависит от результата выстрела второго. Зависимые – это такие события А и В, что появление события А изменяет вероятность появления события В и наоборот. Например, в урне находятся по два белых и черных шара. Вычислить вероятности событий при различных условиях выборов черных и белых шаров? 1)Если событие А - «извлекли белый шар», то Р(А)=; если после первого испытания вынутый шар кладут обратно в урну и снова извлекается шар (новое событие В), то опять Р(В)=: события А и В – независимые; 2) пусть извлеченный при первом испытании шар обратно в урну не возвращается, тогда: а) если в первом испытании извлекли белый шар (событие А), то n =3, m =1 и (вероятность события В уменьшилась); б) если в первом испытании извлекли черный шар, то n =3, m =2 и . Вероятность события В зависит от появления или непоявления события А, события А и В зависимые. При зависимых А и В у словная вероятность события В - это вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило:, (если А и В независимые, то ), в примере .

Совместное появление двух событий А и В –это произведение событий: (теорема 1) вероятность совместного появления зависимых событий А и В: (8). Верно и P(AB)=Р(А)Р(В)=Р(В)Р(А) (9). Например, пусть в примере извлеченный шар не возвращается в урну, какова вероятность того, что и в первый и во второй раз вынули белый шар? Для события А (извлекли белый шар): Р(А)=; тогда n= 4-1=3; для события В (извлекли белый шар): Р(В)=; искомая вероятность: Р(АВ)=Р(А)Р(В)=. Вероятность совместного появления нескольких событий:(10), где - вероятность события , вычисленная в предположении, что события наступили. Для трех событий: (11). Если события А и В - независимы, то (теорема 2 ): Р(АВ)=Р(А)Р(В) (12).

Классификация (б). Для совместимых – несовместимых событий есть ( теорема 3): вероятность суммы несовместимых событий А и В - Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (12). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместимых событий (теорема 4): Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-P(AB)(13).

Свойства: [1]. Для несовместимых событий .[2]. Для несовместимых событий, образующих полную группу: . [3]. Для противоположных событий: и . Например (а), в корзине: 3 – красных мяча, 5 - синих и 2 - белых. Какова вероятность того, что извлекли один цветной мяч? Если событие А – «извлекли красный мяч», В – «извлекли синий мяч»; то Р(А)=, Р(В)=; А и В несовместимы, тогда Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,8. Или, например (b), при вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: надо найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий: 1) Пусть событие А – «попадание в цель первого орудия», событие В – «попадание в цель второго орудия»; 2) события А и В независимые; 3) если оба орудия попали в цель, то 4) для совместимых событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,94.

6. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместимых между собой событий (гипотеза @), образующих полную группу; вероятности этих событий , условные вероятности события А: . Вероятность появления события А при условии появления событий (формула полной вероятности, т еорема 5): (14). Здесь событие А может произойти лишь при условии появления одного из «n» попарно - несовместимых событий , образующих полную группу. Например, для приема зачета составлено 50 задач – (а): 20 по дифференциальному, (b) 30 – по интегральному исчислениям. Для получения зачета необходимо решить первую попавшуюся задачу. Студент Х умеет решать 18 задач из темы (а) и 15 из темы (b). Какова вероятность сдачи зачета? Тогда, если - выбор задачи по теме (а), а - выбор задачи по теме (b), то

. Пусть А – событие «задача решена», тогда, если задача решена по теме (а), то ; если задача решена по теме (b), то и

7. На практике встречаются с ситуациями, когда опыты повторяются многократно, в каждом из них происходит либо не происходит событие А. Встает вопрос об общем числе появления события А в результате ряда опытов. Например, можно вычислить вероятность того, когда при «n» выбрасываниях кости число 4 выпадет три раза. Если опыты независимы относительно события А и проводятся в одинаковых условиях, то вероятность события А - одна и та же: Р(А). Пусть независимых испытаний – n, в каждом событие А происходит с одной вероятностью «р»: P(A)=p, тогда . Результаты опытов (есть событие А или нет): А или . Например, при двух испытаниях возможны результаты: а) АА (в обоих опытах - произошло событие А); б) А - в первом опыте - событие А, во втором –; и т.д…Общее число исходов: 4=. При трех опытах – общее число исходов - 8=. Каждому такому исходу соответствует последовательность символов А и . Испытания независимы, вероятность результата вычисляется перемножением вероятностей наступления каждого из событий А или :

и т.д.

Для вычисления вероятности того, что при «n» испытаниях событие А произойдет ровно «m» раз, используется формула И.Бернулли (15), где «n» - общее число испытаний, «m» - требуемое число исходов, - вероятность того, что при «n» испытаниях событие А произойдет «m» раз, p=P(A), q=1-p, - число сочетаний из «n» элементов по «m» (см. выше). Например, надо найти вероятность того, что из десяти наудачу отобранных деталей три - нестандартные, вероятность получения нестандартной детали р =0,07. В условии n =10 (общее число отобранных деталей), m =3 (число нестандартных деталей), по формуле Бернулли:

.

8. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий (@) и пусть это событие наступило. Надо выяснить, как изменились вероятности гипотез (@) после появления события А. По теореме условной вероятности , откуда . Р(А) –это полная вероятность, подставим (14):

- формула БАЙЕСА для вычисления ; аналогично вычисляются вероятности остальных .

Дата добавления: 2014-01-04