Лекция 8 электростатика. Часть II

Если тела – однородно заряженные шары, сферы или их можно считать точечными зарядами (см. рис. 7.1), формулу закона Кулона можно записать в виде

F = . (7.10)

В этой формуле e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м– электрическая постоянная, q ₁ – заряд первого тела, q ₂ – заряд второго тела (на рис. 7.1 знаки зарядов противоположны), r – расстояние между центрами тел (шаров, сфер), e – диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся тела, F – сила их электростатического взаимодействия. Заметим: в полном соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению.

Закон Кулона – один из тех законов физики, которые не выводятся из каких-либо теоретических соображений, а отражают объективную реальность, и поэтому сами лежит в основе любых теорий, пытающихся объяснить «устройство» окружающего мира.

Закон Кулона можно применять и в тех случаях, когда заряженные тела не являются шарами, сферами или точечными зарядами. Пусть, например, одно из тел точечным считать нельзя. Тогда его необходимо мысленно разбить на N малых частей, для которых уже можно записать формулы вида (7.10), вычислить силы , действующие со стороны этих частей на второе заряженное тело, а затем вычисленные силы векторно сложить. Говорят, что в данном случае используется принцип суперпозиции: искомая результирующая сила

= .

Вычисления будут тем точнее, чем большим будет число N частей, на которые мы мысленно разбиваем первое тело; в предельном случае это число должно стремиться к бесконечности, а суммирование заменится интегрированием.

В общем случае подобные расчёты могут оказаться достаточно сложными, поэтому для нахождения сил, действующих на заряженные тела, в электростатике часто используют не сам закон Кулона, а формулы, в которых фигурирует вспомогательная силовая характеристика, называемая напряжённостью электрического поля.

7.2.2 Напряженность электрического поля.

Графическое отображение электрических полей

Напомним: если на тело в каждой точке пространства действует определённая сила, то говорят, что тело находится в поле сил. Если на заряженное тело со стороны других заряженных тел в каждой точке пространства действует сила Кулона, то можно говорить о поле таких сил, или об электрическом поле. По определению напряженностью электрического поля в заданной точке называется отношение силы , действующей на точечный заряд q ₀, помещённый в эту точку, к величине этого заряда:

= . (7.11)

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный точечный заряд q ₀; в СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр: [] = 1 В×м ^-1; при этом 1 В×м ^-1 = 1 Н×Кл ^-1. Вольт – единица измерения электрического потенциала; обоснованность подобного выбора единицы измерения напряжённости электрического поля мы подтвердим позднее.

Замечание

Приведённое выше определение даёт нам практический способ нахождения . Так, например, если нас интересует напряженность электрического поля в данной точке комнаты, необходимо поместить в эту точку положительный заряд заданной величины q ₀, измерить электрическую силу, которая на него будет действовать в этой точке (для этого можно использовать достаточно чувствительный динамометр), и, разделив F на q ₀, вычислить величину Е. Направление совпадает с направлением силы .

Задание:

Используя определение напряжённости электрического поля и формулу закона Кулона, убедитесь, что напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на некотором расстоянии r от него, рассчитывается по формуле

E = . (7.12)

По такой же формуле рассчитывается напряжённость электрического поля, создаваемого заряженным шаром (или сферой) на расстоянии r от его центра при условии, что это расстояние больше радиуса шара (сферы).

Для напряжённости, так же, как и для силы, справедлив принцип суперпозиции: напряженность электрического поля , создаваемого в заданной точке системой заряженный тел, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых в этой точке каждым телом в отдельности:

= . (7.13)

Пример определения путём векторного суммирования напряжённостей полей трёх зарядов поясняется рисунком 7.2.

Таким образом, если хотя бы одно из взаимодействующих заряженных тел – не точечное, не равномерно заряженные шар или сфера, напрямую формулу закона Кулона использовать нельзя, нужно выражать силу , действующую на заряд q, через напряженность электрического поля , в котором заряд находится:

. (7.14)

Саму же напряжённость следует заранее рассчитать, пользуясь уже рассмотренным принципом суперпозиции, применяя теорему Гаусса (о ней речь пойдёт позднее) и просто (если это возможно) заранее измерить с помощью соответствующих приборов.

Электрическое поле можно отображать графически с помощью силовых линий. Силовой называется линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с силой, действующей в электрическом поле на точечный положительный заряд, помещаемый в эту точку.

Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность). Очевидно, силовые линии не должны пересекаться, поскольку, если бы хотя бы пара линий пересеклась в какой-то точке поля, то в этой точке можно было бы провести две касательные (по одной к каждой линии), а, значит, однозначно определить направление действия кулоновской силы на помещаемый туда заряд было бы нельзя.

Примеры картин силовых линий полей, создаваемых отдельными зарядами и системами зарядов, приведены на рис. 7.3 – 7.5.

Принцип построения силовой линии поясняется рисунком 7.5. Пробный точечный заряд q ₀ помещаем в некоторую точку поля, по принципу суперпозиции находим величину и направление результирующего вектора в этой точке. Затем отпускаем заряд q ₀ и даём ему возможность немного сместиться под действием сил поля. В новой точке фиксируем заряд, опять определяем величину и направление вектора напряжённости, вновь отпускаем заряд, позволив ему сдвинуться дальше, затем ещё раз останавливаем и ищем напряженность поля, и т. д. Определив направления векторов напряжённости на пути перемещения пробного заряда от + q ₁ до - q ₂, строим линию, к которой все эти вектора были бы касательными.

Это и будет искомая силовая линия (на рисунке изображены лишь три последовательных положения заряда q ₀и три соответствующих вектора напряжённости: , и ).

Некоторые примеры

- Один из проектов создания электронных пушек для уничтожения военных космических аппаратов подразумевает стрельбу по движущейся мишени пучком ускоренных электронов. После прохождения разности потенциалов в 10 МВ (или 10⁷ В) скорость электронов возрастает почти до 0,98 c, что позволяет поражать цели на орбите вокруг Земли практически мгновенно.

- При столкновении протона и антипротона происходит их аннигиляция: они исчезают, но при этом рождаются два кванта электромагнитного излучения, суммарная энергия которых равна примерно 3×10^-10 Дж. При аннигиляции молекулы обычной воды и молекулы воды из антивещества энергии выделяется уже в 18 раз больше. Это означает, что при попадании в атмосферу земли метеорита из «антильда» массой всего в 1 г при его аннигиляции выделится энергия примерно 1,8×10¹³ Дж: в три с лишним раза больше, чем выделилось энергии при взрыве четырёхтонной атомной бомбы в Хиросиме.

- Средняя напряжённость электростатического поля нашей планеты (системы Земля – ионосфера) составляет примерно 100 В/м.

- Оценка и нормирование электростатических полей на рабочих местах осуществляется в зависимости от времени воздействия поля на работника. Так, при напряженности электрического поля менее 20 кВ/м время пребывания на рабочем месте не регламентируется, но уже в электростатических полях с напряженностью более 60 кВ/м нахождение персонала без специальных средств защиты не допускается вообще.

Вопросы для повторения

1. Выполняются ли законы Ньютона в рамках СТО?

2. Как рассчитывается кинетическая энергия в СТО?

3. Продемонстрируйте, что при малых скоростях объекта релятивистская формула для его кинетической энергии переходит в выражение, известное из классической механики.

4. Что имеется в виду, когда говорят, что некоторый параметр является инвариантом к преобразованиям Лоренца? Приведите примеры таких параметров.

5. Продемонстрируйте, что пространственно-временной интервал действительно является инвариантом к преобразованиям Лоренца.

6. Сформулируйте закон сохранения электрического заряда.

7. Сформулируйте закон Кулона; ответ поясните рисунком.

8. Что называется напряжённостью электрического поля? В каких единицах она измеряется в СИ? Как отображается графически?

9. В чём заключается принцип суперпозиции в случае напряженности электрического поля? Ответ поясните рисунком.

10. Изобразите картины силовых линий электростатических полей, создаваемых уединёнными точечными зарядами, близко расположенными разноимёнными и одноимёнными электрическими зарядами, обкладками плоского электрического конденсатора.

8.1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

8.1.1 Работа по переносу заряда в электрическом поле

8.1.2 Потенциал – энергетическая характеристика электрического поля. Графическое отображение потенциала (эквипотенциальные линии)

8.1.3 Связь потенциала и напряжённости электрического поля

8.1.4 Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

8.1.5 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

8.1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСОКОГО ПОЛЯ

8.1.1 Работа по переносу заряда в электрическом поле

Решая задачи механики, мы убедились в том, что использование понятий «работа» и «энергия» позволяет получать ответы даже в тех случаях, когда в ходе перемещения тела силы, действующие на него, менялись по величине. Подобная проблема особенно актуальна в неоднородном электрическом поле, ведь даже сила взаимодействия двух точечных зарядов существенным образом зависит от расстояния между ними.

Для описания изменения энергии заряженных тел в электрическом поле вводится энергетическая характеристика этого поля, которая называется потенциалом.

Об электрическом поле мы говорим, поскольку в каждой точке пространства на заряд, помещаемый в это поле, действует определённая сила (Кулона). Силы электростатического поля являются консервативными (их работа не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, а определяется лишь его начальным и конечным положениями). Работа сил такого поля равна убыли потенциальной энергии тела.

Рассчитаем работу, которую совершают силы электрического поля перемещая один точечный заряд q, находившийся изначально на расстоянии r ₁ от второго точечного заряда Q того же знака в точку, в которой расстояние между зарядами станет равным r ₂.

По определению, работа переменной силы при перемещении тела из точки 1 в точку 2: A = = . В нашем случае угол a между направлением силы и направлением перемещения первого заряда равен нулю (заряды отталкиваются), а сама сила F описывается выражением, входящим в закон Кулона, поэтому

A = = = = = = .

Последнее выражение можно интерпретировать, как убыль потенциальной энергии: A = W _П1 - W _П2. Полагая, что на бесконечности (при r → ∞ заряды практически перестают взаимодействовать, F → 0) потенциальная энергия равна нулю (то есть при r ₂ → ∞ W _П2 → 0), получаем выражение для потенциальной энергии в точке 1 поля: W _П1 = . Такую же формулу можно записать для потенциальной энергии заряда q в любом другом месте поля, создаваемого точечным зарядом Q:

W _П = . (8.1)

Очевидно: потенциальная энергия W _П численно равна работе A _∞, которую необходимо совершить силам поля с тем, чтобы переместить положительный заряд из данной точки на бесконечность.

В электрическом поле, создаваемом не одним, а несколькими зарядами потенциальная энергия заряда q равна алгебраической сумме значений потенциальной энергии в полях, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

W _П = = q j (8.2)

(здесь j – результирующий потенциал электрического поля в данной точке).

На основе данной формулы можно получить, что при перемещении заряда q из точки поля с потенциалом j₁ в точку с потенциалом j₂ силы поля совершают работу A = q (j₁ - j₂), или, введя обозначение j₁ - j₂ = U, запишем для работы сил поля

A = qU. (8.3)

Замечание: Символом U в разделе «электричество» принято обозначать падение напряжения на участке цепи. В общем случае (например, если рассматриваемый участок содержит батареи, аккумуляторы), понятия разность потенциалов и падение напряжения не совпадают. В электростатике, однако, мы не рассматриваем работу источников тока, и в этом случае отличия между данными понятиями нет: можно говорить, что U это разность потенциалов электрического поля в двух выбранных точках, а можно – что это падение напряжения (или напряжение) на участке между этими точками.

Замечание:

Если после перемещения в поле по замкнутому контуру l заряд q вернули в исходную точку (r ₁ = r ₂), работа сил электростатического поля окажется равной нулю, поскольку W _П1 = W _П2. Это можно отобразить так:

A = = 0.

Из определения напряжённости электрического поля = q, следовательно,

= q = 0, то есть в электростатическом поле

= 0. (8.4)

В математике интеграл вида называют циркуляцией вектора , поэтому можно сказать: в электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю.

8.1.2 Потенциал – энергетическая характеристика

электрического поля. Графическое отображение потенциала (эквипотенциальные линии)

С потенциальной энергией заряда тесно связана энергетическая характеристика электрического поля: потенциал j.

Потенциалом электрического поля в заданной точке называется отношение потенциальной энергии положительного пробного заряда, помещаемого в эту точку поля, к величине заряда:

j = . (8.5)

В СИ потенциал электрического поля измеряется в вольтах, очевидно, что 1 В = 1 Дж×Кл^-1.

С учётом того, что W _П = A _∞, иногда говорят, что потенциал численно равен работе, которую должны совершить силы поля с тем, чтобы переместить единичный пробный заряд из данной точки поля в бесконечность.

Выражение для W _П в поле точечного заряда мы вывели ранее – (8.1), поэтому, пользуясь определением, можем записать формулу для расчёта потенциала такого поля в точке, удалённой от заряда Q на расстояние r:

j = = . (8.6)

Так же, как и напряжённости электрического поля, для потенциала справедлив принцип суперпозиции, однако, в отличие от напряжённости, которая является вектором, потенциал – скаляр, может быть как положительным, так и отрицательным, и поэтому принцип звучит так: потенциал электрического поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

Потенциал электрического поля можно отображать графически с помощью эквипотенциальных линий (и поверхностей) – линий, потенциалы во всех точках которых одинаковы. Их особенностями является то, что

– эквипотенциальные линии всегда замкнуты;

– эквипотенциальные поверхности и силовые линии всегда взаимно перпендикулярны.

Примеры картин эквипотенциальных линий приведены на рис. 8.1 и 8.2; силовые линии на этих рисунках проведены пунктиром.

8.1.3 Связь потенциала и напряжённости электрического поля

Если заряд q поместить в электрическое поле и затем отпустить его, то под действием сил поля, он начнёт двигаться и на малом первом участке пути dl вдоль силовой линии эти силы совершат работу

d A = = q ₀= q ₀ Edl × cos 0º = q ₀ Edl.

Но, поскольку работа сил поля равна убыли потенциальной энергии заряда, можно записать:

d A = - dW _П

(напомним, что в математике знак дифференциала означает бесконечно малое приращение: из нового значения функции мы вычитаем предыдущее; в нашем случае речь идёт об убыли, то есть, наоборот, нужно вычесть последующее значение функции из предыдущего, отсюда возникает знак «минус» перед dW _П).

Из определения потенциала следует, что dW _П = q ₀ d j, поэтому запишем: d A = q ₀ Edl = - q ₀ d j, то есть при перемещении вдоль силовой линии

E = - . (8.7)

Если вектор перемещения разложить по осям координат X, Y, Z (единичные вектора по которым обозначим , , ), связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля может быть представлена в виде

= - grad j, (8.8)

где символ grad j означает вектор вида

grad j = + + .

Соотношения (8.7) и (8.8) позволяют по заданной зависимости E (x, y, z) находить функцию j(x, y, z).

8.1.4 Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Как мы уже отмечали, если хотя бы один из взаимодействующих зарядов нельзя считать точечным, равномерно заряженным шаром или сферой, для вычисления силы электростатического взаимодействия используют силовую характеристику поля – его напряженность в данной точке. Зная напряжённость, мы находим силу (= q), действующую на заряд q в этой точке, вычисляем его ускорение, определяем траекторию движения и т. д. Саму напряжённость можно рассчитать, пользуясь принципом суперпозиции, однако в ряде случаев в этих целях удобнее использовать теорему Гаусса.

Введём определение: если каждой точке пространства можно сопоставить некоторый вектор (например, – вектор ), то, выбрав в этом пространстве некоторую поверхность S, можно говорить о потоке вектора через эту поверхность S. Для вычисления потока поверхность S мысленно разбивают на много малых частей dS, каждой из которых сопоставляют вектор , по величине равный площади dS и направленный вдоль вектора нормали к поверхности выбранного участка (во всех случаях – к одной и той же стороне всей поверхности S). По определению потоком вектора через элемент называется скалярное произведение этих векторов: d F _A = ( ) = AdS×cos a, где a – угол между векторами и (см. рис. 8.3. а). Потоком вектора через всю поверхность S (рис. 8.3. б) называется интеграл вида

F _A =

В качестве вектора можно выбрать вектор силы (для описания поля сил), скорости (для описания движения частиц в струе жидкости), индукции магнитного поля и т. д. В теореме Гаусса для электрического поля в вакууме говорится о потоке F _E вектора напряженности электрического поля , при этом поток считается не через обычную поверхность, а через замкнутую, то есть разделяющую пространство таким образом, что проникнуть из одной его части в другую, не пронзив эту поверхность, невозможно.

Сформулируем теорему.

Поток вектора напряжённости электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен деленной на электрическую постоянную e₀ алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью:

= . (8.9)

Заметим: формула не является альтернативой тексту теоремы, поскольку из (8.9) не следует, что замкнутая поверхность может иметь любую форму (в том числе – такую, которая нам удобна для проведения вычислений); кроме того, глядя на выражение (8.9) невозможно сказать, о каких зарядах q_i идёт речь (учитываются только те, которые охватываются выбранной поверхностью!).

Вывод формул для напряжённости электрического поля с помощью теоремы Гаусса особенно прост в случаях полей, создаваемых симметричными заряженными объектами. Для вывода формул необходимо:

– Начертить рисунок с изображением заряженного тела и силовых линий создаваемого им электрического поля.

– Указать на рисунке точку, в которой мы будем рассчитывать величину напряжённости электрического поля, и провести сквозь эту точку силовую линию.

– Выбрать замкнутую поверхность, форма которой соответствовала бы симметрии задачи; поверхность должна проходить через выбранную точку.

– Посчитать поток вектора напряжённости электрического поля через выбранную поверхность (учитывая взаимную ориентацию отдельных частей поверхности и пронзающих их силовых линий).

– Определить, какой заряд охватывается выбранной поверхностью, после чего применить теорему Гаусса.

8.1.5 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме

а) Поле равномерно заряженной сферы

Рассмотрим сферу радиусом R и зарядом + Q. Она делит пространство на две область: внутри сферы (где зарядов нет) и снаружи от неё. Выражение для напряжённости создаваемого электрического поля получим для каждой из этих областей.

Для области вне сферы: рисуем чертёж, изображаем силовые линии, выбираем точку М, находящуюся на расстоянии r от центра сферы, проводим через неё одну из силовых линий, после чего выбираем замкнутую поверхность, соответствующую симметрии задачи и проходящую через эту точку. Очевидно, такой поверхностью будет сфера, центр которой совпадает с центром сферы, напряжённость электрического поля которой мы рассчитываем (рис. 8.4. а).

Теперь считаем поток вектора через выбранную поверхность, учитывая, что нормаль к её любому участку, например, – с точкой M, совпадает с силовой линией, проходящей через этот участок (угол a, который входит в формулу для потока, везде равен нулю):

F _E = = =

В силу симметрии выбранной поверхности напряжённость электрического поля в любой её точке должна быть одинаковой:

F _E = = .

Но по определению интеграла = S, где S = 4p r ² – площадь сферы; таким образом, F _E = 4p r ² E.

Применим теорему Гаусса: выбранной поверхностью охватывается весь заряд + Q, поэтому можно записать: 4p r ² E = , или, другими словами, напряженность поля вне заряженной сферы

E = . (8.10)

Для любой точки М ¢в области, находящейся внутри заряженной сферы, можно выбрать сколь угодно много замкнутых поверхностей, проходящих через эту точку и при этом лежащих внутри заряженной сферы (рис. 8.4. б). По теореме Гаусса, так как ни одна из таких поверхностей не окружает заряд, то для них для всех F _E = 0, независимо от формы. Другими словами, в этом случае º 0 при любом S, а это возможно лишь если интеграл берётся от нуля, то есть внутри заряженной сферы E = 0.

Некоторые примеры

- В физике, как правило, потенциал электрического поля равным нулю выбирается на бесконечности; в электротехнике за нулевой потенциал часто принимают поверхность Земли.

- У живых клеток в покое между внутренним содержимым клетки и наружным раствором существует разность потенциалов порядка 60 – 90 мВ.

- Разность потенциалов между катодом и анодом внутри электронно-лучевой трубки цветного телевизора достигает 25 кВ.

- Разность потенциалов между Землёй и ионосферой составляет 200 – 250 кВ.

Вопросы для повторения

1. Что называется потенциалом электрического поля? В каких единицах она измеряется в СИ? Как отображается графически?

2. Выведите формулу для потенциала электрического поля, создаваемого точечным зарядом.

3. В чём заключается принцип суперпозиции в случае потенциала электрического поля? Ответ поясните рисунком.

4. Запишите формулы, связывающие напряжённость и потенциал электрического поля и поясните смысл входящих в эти формулы величин.

5. Изобразите картины эквипотенциальных линий электростатических полей, создаваемых уединёнными точечными зарядами, близко расположенными разноимёнными зарядами, обкладками плоского электрического конденсатора.

6. Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля; запишите соответствующую формулу и поясните смысл входящих в формулу величин.

7. Продемонстрируйте, как применяется теорема Гаусса для вычисления напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой.

Дата добавления: 2013-12-11