Баланс массы в элементе грунта

Выделим в пласте элементарный объем, образующийся в результате пересечения вертикальной призмы подстилающей и свободной поверхностями грунта. Поскольку размеры призмы и малы, а функции и гладкие (предположения 3), 4)), то получившееся тело с хорошей степенью точности можно считать параллелепипедом. Ведем неизвестные функции и - составляющие скорости жидкости вдоль осей (рис. 1.2).

Подсчитаем количество жидкости, входящей в параллелепипед и выходящей из него за промежуток времени .

Через грань в элементе грунта входит масса воды, равная объему прошедшей через нее жидкости, умноженному на плотность , т.е. величина

,

а через грань выходит массы воды

.

Рис. 1.2

В этом выражении в сравнении с предыдущем добавляется член, описывающий приращение функции при переходе от плоскости к плоскости . Сама же величина имеет смысл потока массы (вещества).

Итак, при движении жидкости вдоль оси , в элементе грунта накапливается масса

.

Проведя аналогичные рассуждения и , получаем изменение массы воды вдоль за счет ее движения вдоль оси :

.

Поскольку вдоль оси в элементе грунта жидкость не втекает и не вытекает из него (снизу – пласт подстилающий, а через свободную поверхность нет потока вещества), то суммарное изменение массы воды в элементе грунта равно

. (1)

Общее количество жидкости в параллелепипеде равно его объему, умноженному на плотность и на коэффициент пористости (так как часть объема занята грунтом):

.

Изменение массы воды в элементе за время , очевидно, равно

.

Учитывая, что , , из последнего выражение получаем

, (2)

и, приравнивая (1) и (2), приходим к уравнению неразрывности, выражающему закон сохранения массы в рассматриваемом процессе:

. (3)

В уравнении (3) скорость изменения рассматриваемой величины (в данном случае массы) со временем определяется дивергенцией потока этой величины – свойство, характерное для многих моделей, получаемых из законов сохранения.

С учетом того, что , , уравнение (3) переписывается в более простой форме:

. (4)

Дата добавления: 2013-12-12