КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Основные свойства определенных интегралов
Наиболее просто и естественно установить эти свойства, опираясь на какой-либо наглядный смысл определенного интеграла. Например, на то, что любой определенный интеграл связан, согласно (3), (5) и (6), с площадями криволинейных трапеций. Но использовать этот геометрический смысл определенного интеграла для вывода его свойств в самом общем случае, то есть в случае знакопеременной функции y = f(x), не очень удобно. Гораздо удобнее и нагляднее установить эти свойства, если, в соответствии с (12), считать определенный интеграл работой А силы f(x) (силы любого направления, а значит, и любого знака), когда точка приложения х этой силы перемещается вдоль оси ох из положения а в положение b (рис. 10).
(22)
Тогда сразу становятся очевидными следующие Свойства определенных интегралов:
(число А может быть любого знака).
(переменную интегрирования в определенном интеграле можно обозначить как угодно – результат не изменится).
(ибо если перемещение точки отсутствует, то работа любой силы f(x) равна нулю).
(ибо если сила отсутствует, то и работа отсутствует).
(ибо работа постоянной единичной силы численно равна перемещению точки под действием этой силы).
7) Для любых трех чисел a,b и c (при всех возможных их расположениях относительно друг друга, см рисунки ниже) справедливо равенство
(физический смысл последних пяти свойств продумать самостоятельно). 11) Пусть m = [ f(x) ] наим и М = [ f(x) ] наиб – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на промежутке [ a; b ]. Тогда
Действительно, так как m ≤ f(x)≤ M для всех xÎ [ a; b ], то применяя свойство (32) и затем свойства (31) и (27), мы и получим двойное неравенство (33). Это неравенство часто используется для прикидки (грубой оценки) величины . 12) (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то на этом отрезке найдется такая точка , что справедливо следующее равенство:
Пример 1. Оценить величину . Решение. Так как функция монотонно возрастает на отрезке [1; 3], то Поэтому по формуле грубой оценки (33) получаем: Пример 2. Оценить величину . Решение. Минимальное m и максимальное M значения функции на промежутке [0; p] не очевидны, так как с возрастанием х в выражении x + cos x первое слагаемое растет, а второе убывает. Чтобы разобраться в поведении функции y, найдем ее производную: . Так как sin x ≤ 1 для всех х, то для всех х. А значит, функция убывает на всей области своего определения, в том числе и на отрезке [0; p]. Таким образом, на отрезке [0; p] Следовательно, оценка (4.18) для данного интеграла имеет вид:
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 259; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |