План лекции. 5.1. Понятие определённого интеграла

Лекция 5. Определённый интеграл

5.1. Понятие определённого интеграла

5.5. Свойства определённого интеграла

5.5. Оценки определённых интегралов

5.4. Формула Ньютона-Лейбница

5.5. Основные правила интегрирования

5.6. Приближенное вычисление определённых интегралов

5.7. Несобственные интегралы

5.8. Приложения определённого интеграла

5.1. Понятие определённого интеграла

Пусть на интервале ] a, b [ задана непрерывная функция f(x). Разобьем ] a, b [ точками на n элементарных интервалов и составим так называемую интегральную сумму:

(5.1)

где - длина k -го элементарного интервала, а .

Обозначим длину наибольшего элементарного интервала через d

Очевидно из следует, что

Если существует независящий ни от способа разбиения ] a, b [ на элементарные интервалы, ни от выбора точек то он называется определённым интегралом от функции и обозначается Итак, по определёнию

(5.2)

Геометрический смысл величины s_n для функции показан на рис. 5.1 и представляет площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями и высотами

При последовательность (s_n) площадей этих фигур сходится к площади S криволинейной трапеции a ABb и тем самым

(5.3)

Равенство (5.3) выражает геометрический смысл определённого интеграла. Поскольку , то в случае принимающей на ] a, b [ значения с разными знаками, имеем, что

(5.4)

Рис. 5.1

Функция для которой на интервале ] a, b [ существует , называется интегрируемой на ] a, b [.

Непрерывность на ] a, b [ достаточна для ее интегрируемости.

Функция называется кусочно непрерывной на ] a, b [, если она имеет не более конечного числа разрывов первого рода на этом интервале, например, как на рис. 5.5.

Рис. 5.2

Кусочно-непрерывные функции также интегрируемы на соответствующих интервалах.

5.5. Свойства определённого интеграла

Из равенства (5.2) вытекают следующие свойства:

1)

2)

3)

4)

В самом деле,

5.5. Оценки определённых интегралов

Покажем справедливость равенства:

(5.5)

Если то в качестве одной из точек разбиения ] a, b [ возьмем точку с и получим:

где x_m = с. (5.6)

Переходя в (5.6) к пределу при (и ), имеем соотношение (5.5).

Если то, полагая x_m = b, получим . Тогда и с учетом свойства 3) приходим к (5.5).

Случай аналогичен.

Если на ] a, b [, то и

(5.6)

так как для всех n.

Из следует, что и

(5.7)

В самом деле, , а тогда ,

что эквивалентно (5.7).

Пусть M и m – наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [ a, b ]. Поскольку и то

(5.8)

Разделив каждую часть неравенства (5.8) на число (b - a), получим:

(5.9)

Непрерывная на отрезке функция принимает все значения между m и M и, в частности, в некоторой точке свое значение , то есть . В силу этого

(5.10)

Равенство (5.10) является важным в анализе и носит название теоремы о среднем. Его геометрический смысл для заключается в том, что прямоугольник а CDb с основанием (b - a) и высотой равновелик площади криволинейной трапеции а АВb (рис. 5.3).

Рис. 5.3

5.4. Формула Ньютона-Лейбница

Функция называется интегралом с переменным верхним пределом. Переменная интегрирования обозначена t для избежания путаницы с верхним пределом х.

Основой для вывода формулы Ньютона-Лейбница является следующее утверждение.

Теорема 5.1. Если функция непрерывна на [ a, b ], то одной из ее первообразных является , .

Доказательство. Задав х приращение , вычислим приращение функции :

Поскольку , то .

По теореме о среднем , где а потому

(5.11)

При точка и в силу непрерывности имеем, что Итак, , а это и означает утверждение теоремы 5.1.

Если - любая первообразная функция , то

(5.12)

Подставляя в (5.12), получим: ,

Полагая теперь , получим формулу

(5.13)

называемую формулой Ньютона-Лейбница.

Эта формула служит мостиком между понятиями неопределённого и определённого интегралов, сводя вычисление последних к нахождению одной из первообразных функции и применению равенства (5.13). Она дает удобный метод вычисления определённых интегралов. По существу только с открытием этой формулы определённый интеграл получил огромное значение в математике и ее приложениях. В силу этого формулу (5.13) называют также основной формулой интегрального исчисления.

Рассмотрим примеры.

1.

5.

5.

5.5. Основные правила интегрирования

1. Замена переменной в определённом интеграле

Если функция имеет на интервале непрерывную производную, причем и , то

(5.14)

В самом деле, пусть - первообразная функция , а - сложная функция. По правилу дифференцирования сложной функции находим , а потому есть первообразная функция . В силу формулы (5.13) имеем:

, что и требовалось установить.

Заметим, что при замене переменной в определённом интеграле нет необходимости возвращаться к прежней переменной, а лишь следует перейти к новым пределам a и b.

Пример 1. Вычислить Применим подстановку Тогда При имеем , а при получим Теперь

2. Интегрирование по частям определённых интегралов

Если функции и имеют непрерывные производные на интервале ] a, b [, то справедлива формула

(5.15)

называемая формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

В силу равенства функция является первообразной функции и по формуле Ньютона-Лейбница Поскольку а то и тем самым а

Пример 2. Вычислить

Полагая имеем V = x, а тогда

5.6. Приближенное вычисление определённых интегралов

Приближенное вычисление определённых интегралов осуществляется в случаях, когда функцияне имеет элементарной первообразной , как, например, такие интегралы:

Наиболее употребительны формулы прямоугольников, трапеций и парабол (формула Симпсона). Эти формулы выражают определённый интеграл через значения подынтегральной функции вычисленные для ряда значений аргумента х.

Чаще всего применяется формула Симпсона

(5.16)

где n – четное число, Погрешность этой формулы:

(5.17)

где М – наибольшее значение на отрезке [ a, b ].

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001

При n = 10 имеем h = 0,1. Вычислим значения подынтегральной функции в соответствующих точках деления:

х 0 = 0	y 0 = 1,0000	х 6 = 0,6	y 6 = 1,4333
х 1 = 0,1	y 1 = 1,0101	х 7 = 0,7	y 7 = 1,6323
х 2 = 0,2	y 2 = 1,0408	х 8 = 0,8	y 8 = 1,8965
х 3 = 0,3	y 3 = 1,0942	х 9= 0,9	y 9 = 2,2479
х 4 = 0,4	y 4 = 1,1735	х 10 = 1,0	y 10 = 2,7183
х 5 = 0,5	y 5 = 1,2840

Подставив найденные значения в формулу (5.16), получим:

Окончательно получим:

Для функции имеем и согласно (5.17)

Таким образом, погрешность при n = 10 не превышает 0,00015.

Принцип получения формул приближенного вычисления определённых интегралов основан на их геометрическом смысле и состоит в замене элементарных криволинейных трапеций на более простые плоские фигуры. Замена этих трапеций на прямоугольники порождает формулы

(5.18)

(5.19)

Это и есть формулы прямоугольников, смысл которых очевиден из рис. 5.4.

При замене элементарных криволинейных трапеций обычными трапециями приходим к формуле трапеций:

(5.20)

Формула Симпсона получается при замене двух соседних элементарных трапеций на трапецию, ограниченную сверху параболой.

Из рис. 5.4 явствует, что формула трапеций более точна, чем формулы прямоугольников. Заметим, что правая часть в (5.20) есть среднее арифметическое правых частей в (5.18) и (5.19).

В свою очередь формула Симпсона точнее формулы трапеций. При увеличении числа разбиений n отрезка [ a, b ] погрешности каждой из приведенных формул уменьшаются.

Рис. 5.4

5.7. Несобственные интегралы

Понятие несобственного интеграла связано с обобщением понятия определённого интеграла на случай, когда по крайней мере один из пределов интегрирования бесконечен или подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

1. Интегралы с бесконечными пределами – это интегралы вида:

где - интегрируемая на любом конечном интервале функция. Полагаем

где С – любое конечное число.

2. Интегралы от неограниченных функций.

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке , или в точке , или в точке , то по определёнию полагаем:

Интегралы называются сходящимися, если эти пределы существуют, и расходящимися в противном случае.

Пример 4. Исследовать сходимость интеграла

При имеем: .

Если , то и тогда Если , то и интеграл расходится. При

Итак, при интеграл расходится, а при он сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость интеграла

В точке х = 0 функция терпит бесконечный разрыв и При a < 1 и а при a > 1

Итак, при a < 1 интеграл сходится, а если a ³ 1, то интеграл расходится.

5.8. Приложения определённого интеграла

1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла непосредственно связано с его геометрическим смыслом, то есть с формулами (5.3) и (5.4).

Пример 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями и

Решая систему уравнений вычислим абсциссы точек пересечения кривых.

Имеем , то есть а потому

Пример 7. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

Поскольку то

Вычисление площадей многих плоских фигур удобно проводить в полярных координатах и .

Рис. 5.5

Из рис. 5.5 очевидно, что а

Фигура, изображенная на рис. 5.5, называется криволинейным сектором.

Разбив сектор ОАВ на элементарные криволинейные секторы и заменив их круговыми секторами, получим интегральную сумму

Переходя в ней к пределу при , получим, что площадь сектора ОАВ выражается определённым интегралом

(5.21)

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали Архимеда и полярной осью.

В этом случае , а и по формуле (5.21) имеем, что

2. Рассмотрим приложения определённого интеграла к некоторым экономическим задачам.

Пример 9. Производство продукции характеризуется темпом роста ее выпуска:

Здесь - прирост продукции за время , а - уровень ее производства за некоторый промежуток времени (например, за год).

Найти количество выпущенной за 10 лет продукции при (2% ежегодного темпа роста) и известном в начальный момент времени t = 0 уровне

Поскольку , то, интегрируя это равенство от 0 до t, имеем

Тогда количество продукции, выпущенной за время t, выражается определённым интегралом:

При k = 0,02 и t = 10 лет получим:

то есть уровень производства увеличится более чем на 22%.

Дата добавления: 2013-12-13