Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Опр. Интервал сходимости степенного ряда (2) называется такой интервал , что для всех

Опр.	Интервал сходимости степенного ряда (2) называется такой интервал , что для всех , лежащих внутри этого интервала, ряд сходится абсолютно, а для всех точек , лежащих вне отрезка , ряд расходится, при этом число называется радиусом сходимости данного степенного ряда.

Теорема Абеля позволяет сделать интересный вывод о характере сходимости степенного ряда, а именно, можно подобрать такое число , что для всех : , ряд (2) сходится абсолютно, а в случае - ряд расходится.  

Выясним вопрос о способе нахождения радиуса сходимости ряда.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (2)

(7)

Применим для исследования его сходимости признак Даламбера. Предположим, что предел

= = =

где = .

Тогда по признаку Даламбера ряд (7) сходится, если или . Тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда при ряд сходится абсолютно.

Если , то ряд (7) по признаку Даламбера расходится причем его общий член не стремится к 0, т.к. неравенство = =

По определению предела последовательности следует, что начиная с некоторого номера для всех имеет место или . Но тогда не стремится к 0 общий член ряда (2) т.е. ряд расходится.

Т.о., степенной ряд (2) сходится в интервале , т.е. радиус его сходимости может быть вычислен по формуле

.

Пример 1 Определить область сходимости ряда

Решение:

Здесь = .

Пусть = - гармонический ряд расходится

Пусть = - сходится по Лейбницу

Ответ. .

Применим теперь к ряду (7) признак сходимости Коши. Предположим, что существует предел

= = = .

где =.

Тогда по признаку Коши ряд (7) сходится абсолютно при , или . Если же , то из соотношения

= =

по определению предела последовательности , что начиная с некоторого номера для всех имеет место или = , т.е. общий член ряда (7) к 0 не стремится. Но тогда и общий член степенного ряда (2) не стремится к 0, т.е. ряд расходится.

Т.о., интервал сходимости степенного ряда (2) имеет вид , а радиус его сходимости можно вычислить по формуле

.

Пример 2 Найти область сходимости ряда

Решение:

Здесь = = = 0.

Т.о. ряд сходится в точке .

Свойства степенных рядов.   Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости этого ряда.  

Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости этого ряда. Т.е. в :

=

Всякий степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости ряда

=

Всякий степенной ряд можно дифференцировать в интервале сходимости.

=

Рассмотрим некоторые примеры практического применения свойств степенного ряда.

Пример 3 Найти сумму ряда

Решение:

1)Обозначим сумму данного ряда через :

=

2)Продифференцируем этот ряд

=

=

3)Заметим, что =- это есть дифференциальной уравнение второго порядка -=0 с начальными условиями ,

Составим характеристическое уравнение

Найдем постоянные и из начальных условий

Ответ. .

Дата добавления: 2014-01-04