КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Доказательство. Интегральный признак Коши
Интегральный признак Коши Теорема 38.7. Если функция f неотрицательна и убывает на полупрямой х ≥ 1, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .
у y=f(x)
O 1 k k+ 1 x
Выберем натуральное число k и рассмотрим значения х на отрезке k ≤ x ≤ k + 1. Тогда в силу убывания функции f f(k) ≥ f(x) ≥ f(k + 1). Проинтегрировав это неравенство по отрезку единичной длины [ k, k + 1], получим:
откуда . Складывая подобные неравенства, полученные при значениях k от 1 до п, приходим к неравенству: откуда , (38.8) где . Если ряд сходится и сумма его равна s, то sn ≤ s, следовательно, , поэтому сходится. Если же, наоборот, предположить, что сходится , то из (38.8) следует, что . Значит, последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху и возрастает, следовательно, по теореме 38.6 ряд сходится.
Пример. Применим интегральный признак Коши к исследованию сходимости рядов вида , сравнивая их с интегралами Рассмотрим следующие возможные значения α: а) α > 1. Тогда (так как при α > 1 ). Следовательно, несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и рассматриваемый ряд. б) α = 1. При этом - интеграл расходится, поэтому расходится и ряд. в) α < 1. Тогда (так как при α < 1 ). Из расходимости несобственного интеграла следует расходимость исследуемого ряда.
Замечание. Итак, ряд вида сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Это свойство ряда будет часто использоваться в дальнейшем.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1279; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |