Визначення. Взаємно однозначною називається така відповідність між множинами А і В, при якій кожному елементу а Î А відповідає один і тільки один елемент b Î

Визначення

Визначення

Взаємно однозначною називається така відповідність між множинами А і В, при якій кожному елементу а Î А відповідає один і тільки один елемент b Î В, і кожному елементу b Î В відповідає один і тільки один елемент а Î А. Функція, що визначає взаємно однозначну відповідність, називається бієктивною функцією або бієкцією.

Множини А і В називаються еквівалентними або рівно-потужними (А ~ В), якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність.

У прикладі із заповненим залом для глядачів множина глядачів еквівалентна множині крісел. Таким чином, еквівалентними одна одній виявляються всі скінченні множини з однаковим числом елементів п, і число п вважається потужністю цих множин.

Для нескінченної множини строге поняття потужності не вводиться, але сам термін «потужність» використовується для позначення властивості, загальної для всіх еквівалентних множин. Якщо дві нескінченні множини А і В еквівалентні (А ~ В), то рівність їх потужностей формально записується як |А| = | В|.

Множина А називається зчисленною, якщо вона еквівалентна натуральному ряду N (А ~ N). Термін «зчисленність» є точним замінником інтуїтивного поняття — «дискретність».

За допомогою бієкції φ = N → А можна «перелічити» всі елементи а з А, привласнивши їм індекси за правилом φ(n) = а_п. Можна записати, що А = {а_п, п=1, 2,...}. Множини парних натуральних чисел N₄ = {2, 4,..., т,...}, всіх натуральних чисел N = {1, 2,..., п,...}, цілих чисел Z і раціональних чисел Q послідовно вкладені: N _ч Ì N Ì Z Ì Q. Хоча для будь-яких двох з цих множин немає рівності, вони еквівалентні одна одній, тобто мають однакову потужність і є зчисленними: |N _ч | = |N| = |Z| = |Q|. Тому відповідно до наших угод множини N _ч, N, Z, Q є дискретними.

Дійсно, еквівалентність N ~ N _ч аргументується за допомогою бієкції φ(n) = 2 п: 2 п = т. Множину цілих чисел Z можна «перелічити» (тобто присвоїти його елементам натуральні індекси) за правилом:

m n					…
	1/1	2/1	3/1	4/1	…
	1/2	2/2	3/2	4/2	…
	1/3	2/3	3/3	4/3	…
	1/4	2/4	3/4	4/4	…
…	…	…	…	…	…

Рис. 1.14. Таблиця множини Q ₊

0 = z₁; 1 = z₂; -1 = z₃;

2 = z₄; -2 = z₅; 3 = z_6; …

Отже Z ~ N.

Для доведення еквівалентності множин Q і N достатньо вказати правило нумерації множини Q ₊ додатних раціональних чисел, що утворяться діленням т/п натуральних чисел т і п.

Пронумеруємо стовпці та рядки нескінченної таблиці індексами т і п відповідно (рис. 1.14).

Будемо нумерувати послідовно числа п/т вздовж пунктирних похилих стрілок, починаючи з лівого верхнього кута таблиці і переходячи після проходження кожної стрілки до сусідньої, більш довгої. При цьому пропускаються відношення т/п, чисельні значення яких зустрічалися раніше:

Таким чином, множина Q раціональних чисел зчисленна:

Звичайно, існують нескінченні незчисленні множини, та їх потужність природно вважати більшою за | N |. Так, множина точок відрізка [0, 1] = { х Î R; 0 £ х £ 1} не є зчисленною (теорема Г. Кантора). її потужність називається континуум і позначається малою буквою с: |[0, 1]| = с. Сама множина [0, 1] і будь-яка еквівалентна їй множина називаються континуальними.

Виявляється, що на дійсній вісі R континуальними (тобто еквівалентними одна одній і відрізку [0, 1]) є, наприклад, множини [ а, b ], (а, b), при будь-якому а < b; (0, +¥); множина (- ¥, +¥), що дорівнює R.

Континуальні також множини точок будь-якого квадрату та кругу на площині R ², паралелепіпеду та кулі у просторі R ³ і самого простору R ³: |R| = |R ² | = |R ³ | = с.

Дата добавления: 2014-01-04