Торговые стратегии

Одной из основных задач управления финансами явлется разработка и реализация схем управления пакетами ценных бумаг, динамически изменяющимися с течением времени. В отличие от статической ситуации, рассмотренной в предыдущей главе, здесь мы будем рассматривать процесс управления портфелем на некотором временном интервале периодов планирования. Величина называется горизонтом планирования.

Для таких ситуаций мы можем определить торговую стратегию как случайный процесс (т.е. в дискретном случае случайную последовательность) векторов в , описывающих структуру портфеля в различные моменты времени. В этих обозначениях представляет количество единиц финансового инструмента , содержащихся в портфеле в момент . Величины называют позициями активов в портфеле инвестора. На позиции мы не накладываем ограничений неотрицательности. Те , для которых будем называть короткими позициями (от английского shortage, нехватка). Содержательно они соответствуют долгам владельца портфеля.

Для описания процессов, происходящих на финансовых рынках, отсутствия на них предсказателей будущего, требует введения еще одного понятия.

Определение 1 Торговая стратегия предсказуема, если для всех величины измеримы относительно .

Предположение предсказуемости означает, что позиции в портфеле в момент времени определяются на основе информации, имеющейся в момент и эти позиции не изменяются до момента , когда становятся известными новые котировки. Инвесторы знают прошлые и текущие цены, но, конечно, не будущие.

Общая стоимость портфеля в момент времени -- это скалярное произведение

Его дисконтированное значение (стоимость) по определению задается формулой

где и -- вектор дисконтированных цен.

Важным и часто используемым понятием является самофинансирующаяся торговая стратегия, при которой перестройка структуры портфеля происходит исключительно за счет внутренних ресурсов самого портфеля. Подобную операцию можно представить как мгновенную продажу активов портфеля и покупку по тем же ценам каких-то измененных обьемов финансовых инструментов.

Для нас интерес представляют лишь новые обьемы компонент портфеля в следующий момент времени , когда становятся известными новые котировки и определяется новая стоимость портфеля. Условие самофинансирования представляет собой равенство

Интерпретация этого уравнения заключается в следующем: в момент времени , когда становятся известными новые цены, инвестор изменяет свои позиции с на без привлечения или траты каких-либо капиталов.

Изменение стоимости портфеля вычисляется при этом как

(24)

где

Равенство (24) можно интерпретировать как выражение того факта, что при СФ-стратегии изменение стоимости портфеля определяется лишь движением цен от прошлых к настоящим, а прошлые обьемы активов в портфеле не имеют значения.

Справедливо и более общее утверждение, доказывающее и обратное.

Теорема 2 Следующие предположения эквивалентны:

1. Стратегия самофинансирующаяся.
2. Для любого

(25)

1. 
   
2. где
3. Для любого

(26)

1. 
   
2. где

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если -- самофинансирующаяся, то, суммируя (24) по от до , получаем

что дает (25). C другой стороны, из (25) следует

что демонстрирует выполнение условия самофинансирования

Аналогично показывается эквивалентность (ii) и (iii), поскольку тогда и только тогда, когда и для дисконтированных цен

Заметим далее, что для безрискового актива Отсюда следует, что если инвестор применяет СФ-стратегию, то дисконтированная стоимость его портфеля полностью определяется начальным капиталом и стратегией торговли рисковыми активами.

Точнее, мы можем доказать следующее предложение.

Теорема 3 Для предсказуемого процесса и для любой -измеримой величины существует единственный предсказуемый процесс такой, что стратегия является самофинансируемой и ее начальная стоимость равна .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что для безрискового актива Из самофинансируемости следует

что определяет

и очевидно, что измеримо относительно и, следовательно, предсказуемо.

С содержательной точки зрения это утверждение означает, что манипулируя безрисковым активом можно реализовать самофинансируемым образом произвольную торговую стратегию с любым начальным капиталом.

Напомним, что мы не накладываем никаких ограничений на знаки величин . Если , мы одалживаем безрискового инструмента. Если для , мы говорим, что мы занимаем короткую позицию для -го финансового инструмента. Короткие позиции и заем допустимы, но значение нашего портфеля должно быть положительным в любой момент времени. Это обстоятельство характеризует возможности инвестора расплатиться со своими долгами по безрисковым или рисковым инструментам в любой момент времени. В связи с этим введем следующее определение.

Определение 4 Стратегия допустима, если:

1. она самофинансирующаяся,
2. для любого .

Понятие арбитража (возможность безрисковой прибыли) теперь может быть формализовано следующим образом:

Определение 5 Арбитражная стратегия -- это допустимая стратегия с нулевым начальным и положительным конечным значением.

Отметим, что в этом определении стратегия является случайной (предсказуемой) последовательностью и условие положительности понимается как почти наверное и .

Большинство моделей исключает любые арбитражные возможности, что накладывает специфические ограничения на характер торговых стратегий, на каких бы принципах они не были построены. В последующем разделе будут получены основные математические следствия из условия отстуствия на рынке арбитражных стратегий.

Дата добавления: 2014-01-04