КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Управляемость и наблюдаемость
Рассмотрим два фундаментальных свойства систем управления, которые имеют такое же большое значение, как и свойство устойчивости. Первое из них связано с возможностью перевода системы из любого начального состояния в любое другое заданное состояние, а второе – с возможностью определить состояние системы по управляемой величине и управляющему воздействию. 1. Управляемость. Определение управляемости. Система (управляемая система или объект) с уравнением состояния (1) является полностью управляемой, если существует управляющий сигнал f, который переводит систему из нулевого начального состояния х (0) = 0 в момент t 0 = 0 в любое другое состояние х (tf) за конечное время tf. Состояние системы в текущий момент времени t можно изобразить с помощью точки М в пространстве состояния. Под пространством состояния понимаем пространство, осями которого являются переменные состояния.
Здесь точка М – изображающая точка. Изменение положения изображающей точки – это переход системы из одного состояния в другое. Нетрудно показать, что если система полностью управляемая, то ее при некоторых допущениях можно перевести из любого начального состояния в любое другое состояние. Это свойство системы называют достижимостью. Управляемость – частный случай достижимости. На рисунке выше дана геометрическая интерпретация свойств управляемости и достижимости. Теорема Калмана. (О полной управляемости). Для полной управляемости системы, описываемой уравнением (1), необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости (блочная матрица) (2) имела ранг, равный n, где n – порядок системы: . Матрица U имеет размерность (), так как каждый блок имеет размерность , а всего n блоков (столбцов).
Если существует хотя бы один минор n -го порядка матрицы U, то . Минор n -го порядка – определитель матрицы U, составленный из n произвольных столбцов матрицы U. Для системы с одним входом, т.е. если , то U – квадратная матрица и имеет единственный минор n -го порядка, который совпадает с определителем матрицы . При этом условие полной управляемости для r =1: , то есть матрица управляемости должна быть невырожденной. Пример. Для двойного интегратора , где k – коэффициент усиления двойного интегратора. Является ли двойной интегратор полностью управляемым, и при каких условиях? В данном случае n= 2, . Следовательно, в соответствии с (2) матрица управляемости двойного интегратора , так что ., Следовательно, , если . Это и есть условие полной управляемости двойного интегратора. Команды Matlab: U=ctrb (A,B); r=rank (U). Замечание 1. Физический смысл свойства полной управляемости заключается в том, что управление оказывает влияние на каждую из переменных состояния , . При этом можно изменять положение изображающей точки произвольно с помощью соответствующего управления. Замечание 2. Является ли система полностью управляемой можно определить с помощью операционной структурной схемы. Если на операционной структурной схеме имеются пути, ведущие от управления к каждой переменной состояния, то система является полностью управляемой. Пример. Рассмотрим операционную структурную схему системы, представленную на рисунке ниже. Здесь , n= 2.
Как видим, управление u будет оказывать влияние лишь на переменную х 1. Левая часть структурной схемы ведет себя автономно от управления u. Следовательно, система не является полностью управляемой. Если система не является полностью управляемой, то ее можно разложить на управляемую и неуправляемую части (подсистемы). Аналитически покажем, что рассматриваемая система не является полностью управляемой. Для этого по структурной схеме найдем уравнения в переменных состояния
из которых видно, что управление u не влияет на х 2. Найдем A и B: , . Отсюда матрица управляемости . Как видим,, то есть система не удовлетворяет условию полной управляемости. Замечание 3. Если система с одним входом, другими словами, при r= 1, не является полностью управляемой, то ее ПФ вырождается, другими словами, ее ПФ является вырожденной ПФ, то есть порядок знаменателя ПФ будет меньше порядка системы (порядка характеристического уравнения системы). Отсюда система с одним входом является полностью управляемой, если ее передаточная функция не содержит одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе (сокращаемых сомножителей). Для примера, рассмотренного в замечании 2: , , l= 1. При этом ПФ системы , где характеристический многочлен . Следовательно, корни характеристического уравнения =0, другими словами, полюсы системы равны: . Найдем числитель , представляющий собой скалярный многочлен . Итак . Порядок системы n= 2, а порядок знаменателя ПФ равен 1, то есть передаточная функция системы вырождена. Эта система устойчива по начальным условиям, если (левые корни). Если , (есть правый корень), то система устойчива по входу и неустойчива по начальным условиям. Другими словами, компенсация правых (неминимальнофазовых) нулей системы за счет полюсов последовательно включенной еще одной системы делает последовательное соединение не стабилизируемым. Модель в виде ПФ может быть только частичным описанием системы. Замечание 4. Система, описываемая уравнением (1), называется стабилизируемой, если неуправляемая часть является устойчивой по начальным условиям. Для рассмотренного в замечании 2 примера условие стабилизируемости системы: . Свойство стабилизируемости позволяет за счет обратной связи обеспечить устойчивость замкнутой системы даже тогда, когда объект управления содержит неуправляемую часть. Включение неуправляемой части в модель системы достаточно общий случай. Это удобно для описания различных возмущающих воздействий. Например, постоянное возмущающее воздействие можно задать в пространстве состояний как .
Замечание 5. Ранг матрицы управляемости не зависит от выбора вектора состояния. Другими словами, ранг матрицы управляемости является инвариантом, т.е. , где = TU представляет собой матрицу управляемости преобразованной системы, описываемой .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1599; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |