Линейные операции над векторами

Вектором называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является начальной и какая — конечной. Начальную точку называют началом (точкой приложения) вектора, а конечную — концом вектора.

Под направлением вектора понимают направление от его начала к концу. Направление отмечается стрелкой, помещаемой у конца вектора (рис. 3.1.1).

Длина или модуль вектора есть длина соответствующего отрезка, определяющего данный вектор.

Вектор с началом А и концом В обозначают символом . Иногда вектор обозначают одной буквой со стрелкой, помещенной сверху этой буквы, например, (рис. 3.1.1). Длину вектора обозначают соответственно как | |, || и т. д.

Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор обозначают обычно символом . Нулевой вектор не имеет определенного направления (направление произвольно) и его длина равна нулю: || = 0.

Вектор называют единичным, если его длина равна единице в принятой системе измерения (рис. 3.1.2).

Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторы коллинеарны, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 3.1.3). Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Рис. 3.1.1

Рис. 3.1.2

Рис. 3.1.3

Рис. 3.1.4

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если для любых точек M и N, выбранных на лучах, определенных этими векторами, при условии, что , расстояние не меняется (рис. 3.1.4).

Для сонаправленных векторов будем использовать обозначение . Два коллинеарных, но не сонаправленных вектора, называются противоположно направленными (обозначение ).

Теорема 3.1.1. Два вектора, сонаправленных с третьим, сонаправлены друг с другом:

, .

Доказательство. Очевидно, что и коллинеарны. Так как , то для любых точек M и P таких, что расстояние не меняется. Поскольку , то для любых точек N и P таких, что расстояние не меняется. Но тогда и расстояние не меняется. Поэтому .

Ортом ненулевого вектора называют вектор :

.

Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину (векторы и , рис. 3.1.3). Для равных векторов и используют обозначение .

Векторы противоположны, если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину (векторы и , рис. 3.1.3). Для противоположных векторов и используют обозначение .

Ясно, что если

(коммутативность),

(транзитивность).

Заметим, что равенство векторов определено с точностью до их положения в пространстве. Иными словами, мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. В дальнейшем будем рассматривать свободные векторы, т. е. векторы, точки приложения которых произвольны.

Говорят, что векторы следуют друг за другом, если начало каждого из них, начиная со второго, совпадает с концом предыдущего вектора (рис. 3.1.5).

Суммой векторов, следующих друг за другом, называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора.

На рис. 3.1.6 представлена сумма

Суммой произвольно расположенных векторов называется сумма векторов, следующих друг за другом, построенных, начиная с некоторой точки О, и равных соответственно данным векторам (рис. 3.1.7).

Рис. 3.1.5

Рис. 3.1.6

Рис. 3.1.7

Сумма произвольно расположенных векторов не зависит от того, как выбрана начальная точка О при построении векторов, следующих друг за другом.

Сумма векторов определяется однозначно и обладает очевидными свойствами:

1.(коммутативность).

2. () +=+ ()(ассоциативность).

3. (особая роль нулевого вектора).

4. : (существование противоположного вектора).

Разностью векторов и называют такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : +=(рис. 3.1.8). Разность векторов обозначается =.

Произведением вектора на вещественное число a называется вектор :

1. ;

2.

Если a = 0 или , то вектор =.

Если — орт вектора , то , откуда .

Произведение вектора на число определяется однозначно и обладает следующими свойствами:

1) (ассоциативность);

2) (дистрибутивность относительно суммы чисел);

3) (дистрибутивность суммы векторов);

4) 1(наличие единицы).

Рассмотренные операции (сложение векторов и умножение вектора на вещественное число) называются линейными операциями над векторами.

Теорема 3.1.2. Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое число a ¹ 0, что вектор .

Доказательство. Достаточность. Непосредственно следует из определения произведения вектора на число.

Необходимость. Рассмотрим векторы и , где

По построению a векторы , = .

Дата добавления: 2014-01-05