Предприятия

Задача выбора оптимальной производственной программы

Рассмотрим некоторое предприятие, производящее продукцию нескольких, скажем , видов. План выпуска продукции ‑ это вектор , т.е. элементы пространства ; по своему смыслу вектор неотрицателен, . Каждый вид продукции производится на данном предприятии по определенной технологии, использующей сырье (ресурсы) в некотором ассортименте. Пусть ассортимент сырья насчитывает позиций, тогда технология производства продукта задается неотрицательным вектором-столбцом в пространстве ресурсов , компоненты которого показывают затраты сырья (ресурса) вида при производстве одной единицы продукта вида . Если , суть, соответственно, единицы измерения ресурса и продукта , то

, , . (1.5)

Итак, технология производства продукта описывается вектором-столбцом , а совокупность всех таких векторов: образует матрицу коэффициентов удельных затрат , единицы измерения которой даются формулой (1.5). Матрица А описывает технологическую структуру рассматриваемого предприятия, ее можно также назвать “технологический паспорт” предприятия или матрицей удельных затрат предприятия.

Если есть вектор-столбец выпуска продукции, то в соответствии с правилом векторно-матричного умножения есть вектор-столбец затрат ресурсов.

В модели предполагается, что предприятие располагает некоторым заданным вектором наличных ресурсов . Это означает, что при выборе плана руководство предприятия должно учитывать ограничения по ресурсам . Формально: множество планов, допустимых к рассмотрению (т.е. допустимое множество) дается условием

. (1.6)

Следующим предположением модели является допущение о том, что вся продукция, произведенная предприятием, может быть им продана по заранее фиксированным ценам, называемым ценами реализации. Набор цен реализации с единицами измерения образует ковектор (вектор-строка) , так что выручка от реализации продукции составит величину

(руб.). (1.7)

Приходим к следующей задаче планирования производства. При заданных найти план производства продукции в множестве (1.6), максимизирующий выручку от реализации (1.7); формально

, (1.8)

, .

Задача (1.8) является канонической задачей линейного программирования, ее критериальный функционал (критерий оптимизации) есть выручка .

3. Задача о диете. Рассмотрим задачу составление рациона питания минимальной стоимости, которое содержало бы определенный набор питательных веществ в необходимых объемах. Будем предполагать, что имеется известный перечень продуктов из наименований (хлеб, сахар, масло, молоко, мясо и т.д.), которые мы будем обозначать буквами . Кроме того. рассматриваются такие характеристики продуктов (питательные вещества), как белки, жиры. углеводы, витамины и другие. Обозначим эти компоненты буквами . Предположим, что для каждого продукта известно количественное содержание в одной единице продукта указанных выше компонент. В этом случае можно составить таблицу, содержащую характеристику продуктов:

...

...

Элементы этой таблицы образуют матрицу . Предположим, что мы составили рацион питания на некоторый период , например, месяц. Нетрудно вычислить какое количество белков, жиров, углеводов, витаминов и других веществ получит человек за этот период. Например, компонента присутствует в этом рационе в количестве

.

Допустим, что имеются определенные физиологические требования, касающиеся необходимого количества питательных веществ в рационе питания в планируемый срок. Пусть эти требования заданы вектором . Математически это означает, что должны выполняться неравенства:

,

, (2.4)

...

.

Из содержательного смысла задачи очевидно, что все переменные неотрицательны и поэтому к ограничениям (1.4) добавляются еще неравенства

(2.5)

Учитывая, что ограничениям (1.4) и (1.5) удовлетворяет бесконечно много рационов, выберем тот из них, стоимость которого минимальна.

Пусть цены на продукты равны соответственно . Следовательно, стоимость всего рациона может быть записана в виде

. (2.6)

4. Транспортная задача. Имеется пунктов производства однородного продукта. При этом объем производства в пункте равен единиц . Произведенный продукт потребляется в пунктах и потребность его в пункте составляет единиц . Требуется составить план перевозок из пунктов в пункты , чтобы удовлетворить потребности в продукте , минимизировав транспортные расходы.

Пусть стоимость перевозок одной единицы продукции из пункта в пункт составляет . Тогда при перевозке единиц продукции из пункта в пункт транспортные расходы составят , где план перевозок.

Постановка транспортной задачи имеет вид

,

, , , (2.7)

, .

Дата добавления: 2014-01-05