Канонические уравнения

Рассмотрим уравнения вида

и обозначим через l вектор {α; β; γ}, а через M ₀ точку с координатами (x ₀; y ₀; z ₀).

Теорема. Уравнения (5) при условии l ≠ 0 определяют в трёхмерном пространстве прямую линию, проходящую через точку M ₀ = (x ₀; y ₀; z ₀) и имеющую в качестве направ­ляющего вектора l.

Доказательство мы поведём при дополнительном предположении, что все три числа α, β и γ не равны нулю. Обозначим через Γ множество всех тех и только тех точек трёхмерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнениям (5).

Сначала докажем, что уравнения (5) вообще определяют прямую линию. Для этого перепишем их следующим образом:

Теперь умножим первое уравнение на αβ, а второе на βγ. Получим равносильную систему:

Фактически мы получили общие уравнения некоторой прямой. Надобно только прове­рить, что нормальные векторы не коллинеарны. Выпишем эти векторы:

n ₁ = {β; −α; 0};

n ₂ = {0; γ; −β}

и вычислим их векторное произведение:

[ n ₁, n ₂] = {αβ; β²; βγ} = β{α; β; γ}.

Мы получили ненулевой вектор, коллинеарный вектору {α; β; γ}. Следовательно, Γ есть прямая линия, коллинеарная l и, очевидно, проходящая через точку M ₀ = (x ₀; y ₀; z ₀), QED.

Дата добавления: 2014-01-05